Олимпиада Якут
Exercise 1
Tính \(\lim\limits_{t \to +\infty} t \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2 + t^2}\).
Ta có công thức thông dụng
\[\int \frac{dx}{x^2 + t^2} = \frac{1}{t} \arctan \frac{x}{t}.\]
Ta có chặn
\[\frac{1}{(k+1)^2 + t^2} \leqslant \int\limits_{k}^{k+1} \frac{dx}{x^2 + t^2} \leqslant \frac{1}{k^2 + t^2},\]
suy ra
\[\frac{1}{k^2 + t^2} \leqslant \int\limits_{k-1}^k \frac{dx}{x^2 + t^2}.\]
Cộng tất cả phương trình trên với \(k=1, 2, \ldots\) thì
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 + t^2} \leqslant \int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + t^2} = \frac{1}{t} \cdot \arctan \frac{x}{t} \Big|_0^{+\infty} = \frac{1}{t} \cdot \frac{\pi}{2}.\]
Tương tự
\[\begin{split}& \int\limits_{k}^{k+1} \frac{dx}{x^2 + t^2} \leqslant \frac{1}{k^2 + t^2} \\
\Rightarrow & \int\limits_{1}^\infty \frac{dx}{x^2 + t^2} \leqslant \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 + t^2}\end{split}\]
Do
\[\int\limits_1^\infty \frac{dx}{x^2 + t^2} = \frac{1}{t} \arctan \frac{x}{t} \Big|_1^\infty = \frac{1}{t} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{t} \right)\]
nên
\[\left( \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{t} \right) \leqslant t \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 + t^2} \leqslant \frac{\pi}{2}.\]
Như vậy
\[\lim\left(\frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{t}\right) = \lim \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\]
khi \(t \to \infty\).
Exercise 2
Giải phương trình
\[19^x - 13^x = 9^x - 3^x.\]
Dễ thấy \(x = 0\) là một nghiệm của phương trình.
Giả sử phương trình có nghiệm khác \(0\) là \(x\).
Cố định \(x\), đặt \(g(t) = t^x\).
Theo định lí Lagrange, tồn tại \(\xi \in (a, b)\) để \(g(a) - g(b) = g'(\xi) \cdot (a - b)\).
Như vậy
\[g'(\xi) \cdot (19 - 13) = g'(\eta) \cdot (9 - 6)\]
với \(\xi \in (13, 19)\) và \(\eta \in (6, 9)\). Suy ra \(g'(\xi) = g'(\eta)\), nói cách khác là
\[x \cdot \xi^{x-1} = x \cdot \eta^{x-1}\]
mà \(x \neq 0\) nên \(\left(\dfrac{\xi}{\eta}\right)^{x-1} = 1\). Điều này chỉ xảy ra khi \(x-1 = 0\), hay \(x = 1\).
Kết luận: phương trình có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).