5.2. Ideal

Định nghĩa 5.2 (Ideal)

Xét vành \((R, +, \times)\). Một tập con \(I\) của \(R\) được gọi là ideal trái (hay left ideal, левый идеал) nếu:

  1. \((I, +)\) là nhóm con của \((R, +)\).

  2. Với mọi \(r \in R\), với mọi \(x \in I\) thì \(rx \in I\).

Ta định nghĩa tương tự với ideal phải, khi đó \(xr \in I\). Từ đây về sau nếu không nói gì thêm nghĩa là mình xét ideal trái.

Định nghĩa 5.3 (Principal Ideal)

Nếu \(I = a\) với \(a\) là phần tử nào đó trong \(R\) thì \(I\) được gọi là principal ideal (hay ideal chính, главный идеал).

Nói cách khác, nếu có một phần tử trong \(R\) "sinh" ra được \(I\) thì \(I\) là principal.

Định nghĩa 5.4 (Maximal Ideal)

Nếu \(I\) là một ideal của \(R\) và không tồn tại tập con \(I'\) mà \(I \subset I' \subset R\) (tập con thực thụ) thì \(I\) được gọi là maximal ideal (hay максимальный идеал).

Nhận xét 5.1

Xét vành số nguyên \(\mathbb{Z}\). Khi đó mọi ideal của \(\mathbb{Z}\) đều là principal.

Chứng minh

Giả sử ideal \(I\) của \(\mathbb{Z}\) có phần tử dương nhỏ nhất là \(n\).

Theo định nghĩa của ideal thì với mọi \(q \in \mathbb{Z}\) ta có \(qn \in I\).

Nếu phần tử \(a \in I\), theo phép chia Euclid ta có \(a = qn + r\) với \(0 \leqslant r < n\), mà \(a \in I\) và \(qn \in I\) nên \(r = a - qn \in I\).

Tuy nhiên phần tử dương nhỏ nhất thuộc \(I\) là \(n\), do đó \(r = 0\).

Nói cách khác mọi phần tử \(a \in I\) đều có dạng \(qn\) với \(q \in \mathbb{Z}\).

Vậy mọi ideal đều là principal.

Nhận xét 5.2

Ideal \(I\) của \(\mathbb{Z}\) là maximal khi và chỉ khi \(I = n\mathbb{Z}\) với \(n\) là số nguyên tố.

Chứng minh

Ta chứng minh chiều thuận, chiều ngược tương tự. Sử dụng phản chứng, ta giả sử \(n\) là hợp số. Khi đó \(n = n_1 n_2\) với \(n_1 \geqslant n_2 > 1\).

Khi đó \(n \mathbb{Z} \subset n_1 \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}\), suy ra ideal không phải maximal. Ta có điều phải chứng minh.

Định lí 5.1

Gọi \(R\) là vành giao hoán với đơn vị. Khi đó, nếu \(I\) là ideal của \(R\) thì \(R / I\) là trường khi và chỉ khi \(I\) là maximal ideal.

Chứng minh

Ta chứng minh điều kiện cần và điều kiện đủ.

Điều kiện cần. Ta có \(I\) là maximal ideal. Ta thấy rằng \(a + I \neq 0\) khi và chỉ khi \(a \not\in I\), vì nếu \(a \in I\) thì tồn tại \(-a \in I\). Theo định nghĩa vành thì \(a R\) cũng là ideal nên \(I + a R\) là ideal, mà \(a \not\in I\) và \(a \in I + a R\) nên suy ra \(I \subset I + a R\).

Ta lại có \(I\) là maximal nên \(I + aR = R\), do đó tồn tại \(n \in I\) và \(b \in R\) sao cho \(n + ab = 1\). Tóm lại là tồn tại nghịch đảo của phép nhân, do đó \(R / I\) là trường.

Điều kiện đủ. Với \(R / I\) là trường. Ta giả sử \(I\) không là maximal ideal. Khi đó tồn tại \(I'\) sao cho \(I \subset I' \subset R\).

Khi đó tồn tại phần tử \(a \in I'\) và \(a \not\in I\) mà \(a + I \neq 0\). Do đó \((a + I) (b + I) = 1 + I\), suy ra tồn tại \(n \in I \subset I'\) sao cho \(a b = 1 + n\). Vì \(a, b \in I'\) nên \(1 \in I'\), từ đó \(1 \in R\) nên \(I'\) không phải maximal.

Ví dụ 5.3

Xét tập hợp \(\mathbb{Z}\) là vành giao hoán với đơn vị. Nếu \(n\) là số nguyên tố thì \(n \mathbb{Z}\) là maximal ideal (đã chứng minh ở trên).

Khi đó tập \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) là trường hữu hạn modulo nguyên tố gồm các phần tử \(\{ 0, 1, \ldots, p-1 \}\).