5.1. Trường

Định nghĩa 5.1 (Trường)

Cho tập hợp \(F\) và hai toán tử hai ngôi trên \(F\) là phép cộng \(+\) và phép nhân \(\times\). Khi đó \((F, +, \times)\) là trường (hay field, поля) nếu

1. \((F, +, \times)\) là vành giao hoán với đơn vị.

2. Với mọi phần tử \(f \neq 0_F\), tồn tại nghịch đảo \(f^{-1}\) của \(f\) đối với phép nhân, nghĩa là

\[f \times f^{-1} = f^{-1} \times f = 1_F.\]

Nói cách khác, \((F, \times)\) là nhóm Abel. Trên trường ta thực hiện được bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia.

Ví dụ 5.1

Các tập hợp sau với phép cộng và nhân là trường.

1. Tập hợp số thực \(\mathbb{R}\).

2. Tập hợp các số phức \(\mathbb{C}\).

3. Tập hợp các số dạng \(a + b \sqrt{2}\) với \(a, b \in \mathbb{Q}\).

Những trường trên được gọi là trường vô hạn vì có vô số phần tử.

Ngược lại, chúng ta cũng có các trường hữu hạn.

5.1.1. Trường hữu hạn

5.1.1.1. Trường hữu hạn modulo nguyên tố

Cho \(p\) là số nguyên tố. Khi đó tập hợp các số dư khi chia cho \(p\) cùng với phép cộng và nhân modulo \(p\) tạo thành trường.

Chứng minh

Xét tập hợp các số dư khi chia cho \(p\) là

\[S = \{0, 1, \ldots, p-2, p-1\}.\]

Ta thấy rằng với mọi \(a, b \in S\) thì \(a + b \pmod p\) và \(a \cdot b \pmod p\) đều thuộc \(S\).

1. Vì \(0 + a = a + 0 = a \pmod p\) với mọi \(a \in S\) nên \(0\) là phần tử đơn vị của phép cộng.

2. Với mọi \(a \in S\), ta có \((p-a) + a = a + (p-a) \equiv 0 \pmod p\) nên phần tử nghịch đảo của \(a\) đối với phép cộng là \(p-a \in S\).

3. Phép cộng modulo có tính kết hợp.

4. Phép cộng modulo có tính giao hoán.

Như vậy \((S, +)\) là nhóm Abel.

Tiếp theo, ta thấy rằng phép cộng và nhân có tính phân phối trên modulo.

Đồng thời phép nhân modulo cũng có tính kết hợp. Do đó \((S, +, \cdot)\) là vành.

1. Phần tử đơn vị của phép nhân là \(1\).

2. Phép nhân modulo có tính giao hoán.

3. Do mọi phần tử thuộc \(S\) đều nguyên tố cùng nhau với \(p\) nên luôn tồn tại nghịch đảo của phần tử khác \(0\) trong \(S\).

Kết luận: \((S, +, \cdot)\) là trường.

Ta thường kí hiệu trường này là \(\mathrm{GF}(p)\) (GF là viết tắt của Galois Field để tưởng nhớ người có đóng góp quan trọng trong lý thuyết nhóm).

5.1.1.2. Trường hữu hạn modulo đa thức

Xét các đa thức với hệ số nguyên

\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0.\]

Ta thấy rằng phép cộng và nhân hai đa thức tạo thành một vành giao hoán với đơn vị là đa thức \(f(x) \equiv 1\).

Thêm nữa vành này có vô số phần tử. Ta cần một phương án để số phần tử là hữu hạn, và đồng thời là trường.

Với \(p\) là số nguyên tố và \(n\) là số nguyên dương. Mình xét các đa thức có bậc tối đa là \(n-1\) với hệ số nằm trong tập hợp các số dư khi chia cho \(p\). Như vậy mình có \(p^n\) đa thức như vậy.

Ví dụ 5.2

Với \(p = 3\) và \(n = 2\). Khi đó các đa thức có thể có là

\[\{ 0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2 \}.\]

Tương tự với việc modulo cho một số nguyên tố, ở đây mình xét phép cộng và nhân trên modulo một đa thức tối giản (irreducible polynomial) có bậc \(n\) (vì khi modulo một đa thức bậc bất kì cho đa thức bậc \(n\) ta có đa thức bậc nhỏ hơn \(n\)).

Đồng thời hệ số của đa thức từ phép cộng và nhân cũng được modulo \(p\) (nằm trong \(\mathrm{GF}(p)\)).

Với trường hợp \(p = 3\) và \(n = 2\) ở trên mình có thể chọn đa thức modulo là \(m(x) = x^2 + 2x + 2\).

Sau đây là bảng phép cộng hai đa thức bậc nhỏ hơn \(2\) trong modulo \(m(x)\).

	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(x\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(x\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)
\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)	\(2x\)
\(2\)	\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(x+2\)	\(x\)	\(x+1\)	\(2x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)
\(x\)	\(x\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(x+1\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)	\(2x\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)
\(x+2\)	\(x+2\)	\(x\)	\(x+1\)	\(2x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2\)	\(0\)	\(1\)
\(2x\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(x\)	\(x+1\)	\(x+2\)
\(2x+1\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)	\(2x\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(x\)
\(2x+2\)	\(2x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(x+2\)	\(x\)	\(x+1\)

Tương tự, sau đây là bảng phép nhân hai đa thức bậc nhỏ hơn \(2\) trong modulo \(m(x)\).

	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(x\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(x\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(2x+2\)
\(2\)	\(0\)	\(2\)	\(1\)	\(2x\)	\(2x+2\)	\(2x+1\)	\(x\)	\(x+2\)	\(x+1\)
\(x\)	\(0\)	\(2x\)	\(x+1\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(1\)	\(2x+2\)	\(2\)	\(x+2\)
\(x+1\)	\(0\)	\(x+1\)	\(2x+2\)	\(2x+1\)	\(2\)	\(x\)	\(x+2\)	\(2x\)	\(1\)
\(x+2\)	\(0\)	\(x+2\)	\(2x+1\)	\(1\)	\(x\)	\(2x+2\)	\(2\)	\(x+1\)	\(2x\)
\(2x\)	\(0\)	\(2x\)	\(x\)	\(2x+2\)	\(x+2\)	\(2\)	\(x+1\)	\(1\)	\(2x+1\)
\(2x+1\)	\(0\)	\(2x+1\)	\(x+2\)	\(2\)	\(2x\)	\(x+1\)	\(1\)	\(2x+2\)	\(x\)
\(2x+2\)	\(0\)	\(2x+2\)	\(x+1\)	\(x+2\)	\(1\)	\(2x\)	\(2x+1\)	\(x\)	\(2\)

Ta thấy rằng bảng phép nhân đối xứng qua đường chéo chính. Điều này chứng tỏ phép nhân có tính giao hoán. Thêm nữa ở mỗi hàng hoặc cột khác \(0\) đều có \(9\) phần tử khác nhau.