5.1. Tích phân đường

5.1.1. Tích phân đường trên mặt phẳng

Tích phân đường dùng để tính độ dài đường cong \(f(x)\) trên đoạn \([a; b]\) nào đó thuộc tập xác định.

Sau đây mình sẽ dùng tổng vô hạn để giải thích một số công thức tính tích phân đường được học ở trường.

Giả sử mình chia đoạn \([a; b]\) thành \(n\) phần bằng nhau

\[a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\]

với \(x_{i+1} - x_i = \dfrac{b-a}{n}\).

Gọi các điểm

\[L_0 = (x_0, f(x_0) = y_0), \ L_1 = (x_1, f(x_1) = y_1), \ \ldots, L_n = (x_n, f(x_n) = y_n).\]

Khi đó độ dài đường cong là tổng độ dài các đoạn thẳng \(L_0 L_1\), \(L_1 L_2\), ..., \(L_{n-1} L_n\) khi \(n\) tiến tới vô cùng.

Độ dài đoạn thẳng \(L_{i-1} L_i\) là khoảng cách từ điểm \((x_{i-1}, f(x_{i-1}))\) tới \((x_i, f(x_i))\), nghĩa là

\[L_{i-1} L_i = \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2} = \lvert x_i - x_{i-1} \rvert \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{y_i - y_{i-1}}{x_i - x_{i-1}}\right)^2}.\]

Khi \(n\) tiến tới vô cùng thì \(\Delta x = x_i - x_{i-1} = \dfrac{b-a}{n}\) tiến tới \(0\). Các bạn có thấy biểu thức \(\dfrac{y_i - y_{i-1}}{x_i - x_{i-1}}\) khi \(x_i - x_{i-1}\) tiến tới \(0\) quen không? Chính là định nghĩa đạo hàm \(f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y / \Delta x\) mà chúng ta học ở phổ thông.

Kí hiệu \(l\) là độ dài đường cong trên. Do \(l\) là tổng của những đoạn \(L_{i-1} L_i\) cực nhỏ nên có thể nói

\[l = \underbrace{\Delta l_1}_{L_0 L_1} + \underbrace{\Delta l_2}_{L_1 L_2} + \ldots + \underbrace{\Delta l_n}_{L_{n-1} L_n}\]

khi \(n\) tiến tới vô cùng.

Điều này có nghĩa là nếu \(y = f(x)\) thì chúng ta có

\[\Delta l_i = \lvert x_i - x_{i-1} \rvert \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{y_i - y_{i-1}}{x_i - x_{i-1}} \right)^2} = \Delta x_i \cdot \sqrt{1 + \left(\Delta y_i / \Delta x_i\right)^2}\]

với \(\Delta y_i = y_{i} - y_{i-1}\), và \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) tiến về \(0\). Thay các \(\Delta\) bởi vi phân ta sẽ có công thức

\[\boxed{dl = \sqrt{1 + (dy / dx)^2} \ dx = \sqrt{1 + (f'(x))^2} \ dx.}\]

Công thức này có thể dùng khi \(y\) phụ thuộc vào \(x\) hay \(y = f(x)\).

Làm ngược lại quá trình trên, thay \(x\) thành \(y\) và \(y\) thành \(x\) chúng ta có công thức trên nhưng theo \(dy\) là

\[\boxed{dl = \sqrt{1 + (f'(y))^2} \ dy.}\]

Vậy còn trường hợp \(x\) và \(y\) là hai hàm số theo tham số \(t\)? Ví dụ như cung tròn bán kính bằng \(1\) cho bởi \(x = x(t) = \cos(t)\) và \(y = y(t) = \sin(t)\), trong đó \(t \in [a; b] \subset [0, 2\pi]\).

Cách tiếp cận vẫn như vậy, ta chia đoạn \([a; b]\) thành \(n\) phần bằng nhau

\[a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\]

với \(t_{i+1} - t_i = \dfrac{b-a}{n}\).

Khi đó mỗi đoạn thẳng \(L_{i-1} L_i\) sẽ có dạng

\[\begin{split}\Delta l_i & = L_{i-1} L_i = \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2} \\ & = (t_i - t_{i-1}) \cdot \sqrt{\left(\frac{x_i - x_{i-1}}{t_i - t_{i-1}}\right)^2 + \left(\frac{y_i - y_{i-1}}{t_i - t_{i-1}}\right)^2} \\ & = \Delta t_i \cdot \sqrt{(\Delta x_i / \Delta t_i)^2 + (\Delta y_i / \Delta t_i)^2}.\end{split}\]

Khi \(n\) tiến tới vô cực thì \(\Delta t_i\) tiến về \(0\), mà \(x\) và \(y\) là các hàm số theo biến \(t\) nên nói cách khác \(\Delta x_i / \Delta t_i\) chính là đạo hàm của hàm số \(x = x(t)\), tương tự \(\Delta y_i / \Delta t_i\) là đạo hàm của hàm số \(y = y(t)\).

Thay các \(\Delta\) bởi vi phân thì ta có công thức

\[\boxed{dl = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \ dt.}\]