1.1. Định thức ma trận

Định nghĩa 1.55 (Nghịch thế)

Cho tập hợp \(A = \{1, 2, \cdots, n\}\) và xét hoán vị \(\sigma\) trên \(A\).

Ta gọi hai phần tử \(i\) và \(j\) tạo thành nghịch thế (hay inversion) nếu \(i < j\) và \(\sigma(i) > \sigma(j)\).

Đặt \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_n \end{pmatrix}\) là một hoán vị của \(A\). Ta kí hiệu \(P(\sigma)\) là số lượng nghịch thế của \(\sigma\) và đặt \((-1)^{P(\sigma)} = \text{sign} \ \sigma\).

Ví dụ 1.26

Với \(n = 4\), \(A = \{1, 2, 3, 4\}\).

Xét hoán vị \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\).

Ta nhận thấy các cặp nghịch thế \((1, 2)\), \((1, 3)\), \((1, 4)\), \((2, 3)\) gồm bốn cặp nghịch thế. Vậy \(P(\sigma) = 4\) và \(\text{sign} \ \sigma=(-1)^4=1\).

Định nghĩa 1.56 (Định thức)

Khi đó định thức của ma trận

\[\begin{split}\bm{A} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{split}\]

được định nghĩa là:

\[\det(\bm{A})=\displaystyle{\sum_{(i_1, i_2, \cdots, i_n)} a_{1, i_1} \cdot a_{2, i_2} \cdot a_{n, i_n} \cdot \text{sign} \sigma}\]

với mọi hoán vị \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}\) của tập \(\{ 1, 2, \ldots, n \}\). Như vậy có \(n!\) phần tử cho tổng trên.

Ví dụ 1.27

Tính định thức ma trận \(\bm{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\).

Xét hoán vị \(\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\). Khi đó \(P(\sigma_1)=0\),

\[a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot (-1)^0 = 1 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 1 = 45.\]

Xét hoán vị \(\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\). Khi đó \(P(\sigma_2) = 1\),

\[a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \cdot (-1)^1 = 1 \cdot 6 \cdot 8 \cdot (-1) = -48.\]

Xét hoán vị \(\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\). Khi đó \(P(\sigma_3) = 1\),

\[a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} \cdot (-1)^1 = 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot (-1) = -72.\]

Xét hoán vị \(\sigma_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\). Khi đó \(P(\sigma_4) = 2\),

\[a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 1 = 84.\]

Xét hoán vị \(\sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\). Khi đó \(P(\sigma_5) = 2\),

\[a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 1 = 96.\]

Xét hoán vị \(\sigma_6 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\). Khi đó \(P(\sigma_6) = 3\),

\[a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} \cdot (-1)^3 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (-1) = -105.\]

Như vậy

\[\det(A)=45-48-72+84+96-105=0.\]

Định thức của ma trận còn được định nghĩa theo đệ quy như sau.

Với ma trận \(1 \times 1\) là \(\bm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} \end{pmatrix}\) thì \(\det(\bm{A}) = a_{11}\).

Với ma trận \(2 \times 2\) là \(\bm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\) thì \(\det(\bm{A}) = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}\).

Với ma trận \(n \times n\), gọi \(\bm{M}_{ij}\) là ma trận có được từ ma trận \(\bm{A}\) khi bỏ đi hàng \(i\) và cột \(j\) của ma trận \(\bm{A}\) và kí hiệu \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \det (\bm{M}_{ij})\).

Định lí 1.16 (Định lý Laplace)

Định lý Laplace cho phép ta khai triển định thức của ma trận cấp \(n\) thành tổng các ma trận cấp \(n-1\).

Khai triển theo cột \(j\):

\[\det(\bm{A})=\displaystyle{\sum_{i=1}^na_{ij} A_{ij}} = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj},\ j = \overline{1, n}.\]

Khai triển theo hàng \(i\):

\[\det(\bm{A})=\displaystyle{\sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}} = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in},\ i = \overline{1, n}.\]