2. Toán tử tuyến tính¶

Định nghĩa 2.18 (Ánh xạ tuyến tính)

Toán tử tuyến tính (hay linear operator, линейный оператор) là một ánh xạ

\[\bm{A}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\]

thỏa hai điều kiện:

Với mọi \(\bm{u}, \bm{v} \in \mathbb{R}^n\) thì \(\bm{A}(\bm{u}) + \bm{A}(\bm{v}) = \bm{A}(\bm{u} + \bm{v})\).
Với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\) và \(\bm{u} \in \mathbb{R}^n\) thì \(\bm{A} (\alpha \bm{u}) = \alpha \bm{A} (\bm{u})\).

Nếu \(\bm{A}\) là một ma trận cỡ \(m \times n\) thì đây là một ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi phép nhân ma trận với vector \(\bm{A} \cdot \bm{x} = \bm{y}\).

Ở đây \(\bm{x} \in \mathbb{R}^n\) và \(\bm{y} \in \mathbb{R}^m\) là các vector cột.

Định nghĩa 2.19 (Hạt nhân)

Hạt nhân (hay kernel, ядро) của ánh xạ tuyến tính \(\bm{A}\) là tập hợp nghiệm của hệ thuần nhất và được kí hiệu là \(\ker(A)\). Nói cách khác

\[\ker(\bm{A}) = \{ \bm{x} \in \mathbb{R}^n: \, \bm{A} \cdot \bm{x} = \bm{0} \}.\]

Định nghĩa 2.20 (Ảnh)

Ảnh (hay image, образ) của ánh xạ tuyến tính \(\bm{A}\) là tập hợp tất cả giá trị có thể của phép nhân ma trận và được kí hiệu là \(\mathrm{im} (A)\). Nói cách khác

\[\mathrm{im} (\bm{A}) = \{ \bm{A} \cdot \bm{x}: \, \bm{x} \in \mathbb{R}^n \}.\]

Tính chất 2.1

Ánh xạ tuyến tính \(\bm{A} \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) có tính chất:

\(\dim(\ker \bm{A}) + \dim(\text{im} \bm{A}) = n\).