5.3. Ring kernel và ring homomorphism

Xét vành \((R, +, \times)\). Khi đó:

• với mọi \(a \in R\), \(a \times 0 = 0 \times a = 0\);

• \((-a) \times b = - (a \times b)\).

Định nghĩa 5.5 (Ring homomorphism)

Xét hai vành là \((R_1, +, \times)\) và \((R_2, \boxplus, \otimes)\) và ánh xạ \(f: \, R_1 \to R_2\).

Ánh xạ \(f\) được gọi là homomorphism trên hai vành nếu \(f\) là homomorphism trên phép cộng và phép nhân, nghĩa là:

• với mọi \(a, b \in R_1\), \(f(a) \boxplus f(b) = f(a + b)\);

• với mọi \(a, b \in R_1\), \(f(a) \otimes f(b) = f(a \times b)\).

Định nghĩa 5.6 (Hạt nhân)

Hạt nhân (hay kernel, ядро) của \(f\) là

\[\ker f = \{ x : x \in R_1, f(x) = 0_{2} \}\]

với \(0_{2}\) là phần tử trung hòa của \(R_2\).

Định lí 5.2

\(\ker f\) là một ideal của \(R_1\).

Chứng minh

Ta có \(f(0_1) = 0_2\) theo định nghĩa homomorphism. Do đó với mọi \(a \in R_1\) và với mọi \(b \in \ker f\) thì

\[f(a) \otimes f(b) = f(a) \otimes 0_2 = 0_2 = f(a \times b).\]

Do đó \(a \times b \in \ker f\), suy ra \(\ker f\) là ideal trái của \(R_1\).

Tương tự cho với mọi \(a \in R_1\) và với mọi \(b \in \ker f\) thì

\[f(b) \otimes f(a) = 0_2 = f(b \times a),\]

suy ra \(b \times a \in \ker f\) nên \(\ker f\) cũng là ideal phải của \(R_1\).

Kết luận: \(\ker f\) là ideal của \(R_1\).