3. Chuỗi số¶
Xét dãy số \(\{a_n\}\). Đặt
Khi đó \(\{S_n\}\) là chuỗi số. Tương tự như sự hội tụ hoặc phân kỳ của dãy số, ta cũng quan tâm đến sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số.
Định nghĩa 3.15 (Chuỗi số hội tụ)
Chuỗi số \(\{S_n\}\) được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\displaystyle{L = \lim_{n \to \infty} S_n}\).
Ngược lại ta gọi là chuỗi phân kỳ, nghĩa là \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} S_n = \infty}\) hoặc không tồn tại \(\lim\limits_{n \to \infty} S_n\).
Ví dụ 3.14
Xét dãy số \(a_n = \dfrac{1}{2^n}\) với \(n = 1, 2, \ldots\)
Khi đó
khi \(n \to \infty\). Như vậy \(S_n\) là chuỗi hội tụ.
3.1. Tiêu chuẩn Cauchy¶
Theo định nghĩa, chuỗi số hội tụ khi tồn tại giới hạn hữu hạn. Do đó ta có thể viết theo ngôn ngữ \(\delta - \varepsilon\) như đối với dãy số.
Định lí 3.14 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi số \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty} a_i}\) hội tụ nếu với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(N \in \mathbb{N}\), sao cho với mọi \(n \geqslant m \geqslant N\), ta có
Chứng minh
Do \(\displaystyle{\sum_{i=m}^n a_i = \sum_{i=1}^n a_i - \sum_{i=1}^{m-1} a_i}\) nên chuỗi số hội tụ từ một điểm \(m\) nào đó trở đi thì chuỗi hội tụ. Tương tự cho phân kỳ.
Hệ quả 3.2
Nếu chuỗi số \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_i}\) hội tụ thì \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 1}\).
Chứng minh
Theo tiêu chuẩn Cauchy, với mọi \(\varepsilon > 0\), do chuỗi hội tụ nên tồn tại \(N \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n \geqslant m \geqslant N\) ta có \(\left\lvert \sum\limits_{i=m}^{n} a_i \right\rvert < \varepsilon\).
Nếu ta chọn \(m = n\) thì điều kiện trở thành với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(N \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n \geqslant N\) ta có \(\lvert a_n \rvert < \varepsilon\). Nói cách khác \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}\) (định nghĩa giới hạn dãy số).
Dựa vào tiêu chuẩn Cauchy ta có một số tiêu chuẩn hội tụ hữu dụng như sau.
Định lí 3.15 (Tiêu chuẩn thứ nhất về sự hội tụ)
Xét hai chuỗi số \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}\) và \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}\). Khi điều kiện \(0 \leqslant a_n \leqslant b_n\) thỏa mãn, ta có các kết quả sau:
Nếu \(\sum b_n\) hội tụ thì \(\sum a_n\) cũng hội tụ.
Nếu \(\sum a_n\) phân kỳ thì \(\sum b_n\) cũng phân kỳ.
Chứng minh
Ta thấy rằng nếu \(\sum b_n\) hội tụ thì với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(N \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n \geqslant m \geqslant N\), \(\displaystyle{\left\lvert \sum_{i=m}^n a_i \right\rvert < \varepsilon}\).
Do \(0 \leqslant a_i \leqslant b_i\) nên \(\displaystyle{\left\lvert \sum_{i=m}^{n} a_i \right\rvert < \left\lvert \sum_{i=m}^{n} b_i \right\rvert < \varepsilon}\). Như vậy chuỗi \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) cũng hội tụ.
Định lí 3.16 (Tiêu chuẩn so sánh)
Xét hai chuỗi số dương \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}\) và \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = L}\) thì hai dãy số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chứng minh
Do dãy số \(\dfrac{a_n}{b_n}\) có giới hạn hữu hạn \(L\) nên với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(N \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n \geqslant N\), ta có \(\left\lvert \dfrac{a_n}{b_n} - L \right\rvert < \varepsilon\). Tương đương với \(\displaystyle{b_n (-\varepsilon + L) < a_n < b_n (\varepsilon + L)}\). Từ tiêu chuẩn thứ nhất về sự hội tụ và bất đẳng thức thứ hai suy ra nếu chuỗi \(\sum b_n\) hội tụ thì chuỗi \(\sum a_n\) cũng hội tụ.
Tương tự, với bất đẳng thức thứ nhất, nếu \(\sum b_n\) phân kỳ thì \(\sum a_n\) cũng phân kỳ.
Định lí 3.17 (Tiêu chuẩn tích phân Cauchy)
Xét chuỗi số dương \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\). Nếu \(a_n\) là dãy số có dạng \(a_n = f(n)\), ta chuyển qua xét hàm số \(f(x)\).
Nếu hàm số \(f(x)\) thỏa mãn:
\(f(x)\) không tăng.
\(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\infty} f(x)\,dx}\) hữu hạn.
Khi đó chuỗi số \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) hội tụ.