1.3. Ánh xạ

[TODO] Viết lại ánh xạ dựa trên một giáo trình chuẩn.

1.3.1. Ánh xạ

Cho hai tập hợp \(X\) và \(Y\).

Nói đơn giản, ánh xạ \(f\) biến một phần tử \(x \in X\) thành một và chỉ một phần tử \(y \in Y\).

Định nghĩa 1.6 (Ánh xạ)

Một ánh xạ \(f\) từ tập \(X\) đến tập \(Y\) là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử \(x\) của \(X\) với một (và chỉ một) phần tử của \(Y\). Phần tử này được gọi là ảnh của \(x\) qua ánh xạ \(f\) và được kí hiệu là \(f(x)\).

Tập hợp \(X\) được gọi là tập xác định của \(f\). Tập hợp \(Y\) được gọi là tập giá trị của \(f\).

Ánh xạ \(f\) từ \(X\) đến \(Y\) được kí hiệu là \(f: X \to Y\) hoặc \(f(x) = y\).

Cho \(a \in X\) và \(y \in Y\). Nếu \(f(a) = y\) thì ta nói \(y\) là ảnh của \(a\) và \(a\) là nghịch ảnh của \(y\) qua ánh xạ \(f\).

Chú ý

1. Mỗi phần tử \(a\) của \(X\) chỉ có một ảnh duy nhất (là phần tử \(f(a)\)).

2. Mỗi phần tử \(y\) của \(Y\) có thể có nhiều nghịch ảnh hoặc không có nghịch ảnh nào.

Tập

\[f(X) = \{ y \in Y : \exists x \in X, y = f(x) \}\]

được gọi là tập ảnh của \(f\).

Như vậy, tập ảnh \(f(X)\) là tập tất cả phần tử của \(Y\) có nghịch ảnh.

Ánh xạ có ba loại:

1. Đơn ánh (hay Injection): Hai phần tử khác nhau của tập nguồn cho hai ảnh khác nhau, tức là với mọi \(x_1, x_2 \in X\) mà \(x_1 \neq x_2\), thì \(f(x_1) \neq f(x_2)\).

2. Toàn ánh (hay Surjection): Mọi phần tử \(y \in Y\) đều có ít nhất một phần tử \(x \in X\) mà \(f(x) = y\). Nói cách khác với mỗi phần tử trong \(Y\) ta đều tìm được phần tử thuộc \(X\) biến thành nó.

3. Song ánh (hay Bijection): Nếu ánh xạ đó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.

Dựa vào định nghĩa và hình vẽ, ta có thể rút ra kết luận như sau

1. Đối với đơn ánh, do mọi phần tử của \(X\) đều có ảnh ở \(Y\), tuy nhiên có thể có phần tử ở \(Y\) không do phần tử nào của \(X\) biến thành (trong hình là \(5\)). Do đó \(\lvert X \rvert \leqslant \lvert Y \rvert\).

2. Đối với toàn ánh, mọi phần tử của \(Y\) đều có nguồn gốc xuất xứ, tuy nhiên có thể có phần tử của \(X\) không biến thành \(y\) nào của \(Y\) (trong hình là \(e\)). Do đó \(\lvert X \rvert \geqslant \lvert Y \rvert\).

3. Đối với song ánh, do là kết hợp giữa đơn ánh và toàn ánh, khi đó dấu đẳng thức xảy ra, \(\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert\).

Hình 1.5 Đơn ánh

Hình 1.6 Toàn ánh

Hình 1.7 Song ánh

Cho song ánh \(f : X \to Y\). Khi đó với mỗi \(y \in Y\) tồn tại duy nhất một phần tử \(x \in X\) mà \(f(x) = y\).

Phần tử duy nhất \(x \in X\) này được gọi là ảnh của phần tử \(y \in Y\) qua ánh xạ ngược của \(f\).

Định nghĩa 1.7 (Ánh xạ ngược của song ánh)

Ánh xạ ngược của \(f: X \to Y\), kí hiệu là \(f^{-1}\) là ánh xạ từ \(Y\) tới \(X\) biến phần tử \(y \in Y\) thành phần tử \(x \in X\) duy nhất, như vậy

\[f^{-1}(y) = x \Longleftrightarrow f(x) = y.\]

Như vậy, nếu \(f\) không phải song ánh thì chúng ta không thể xác định ánh xạ ngược.

Ví dụ 1.2

Xét hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \to y = f(x) = x^3\).

Lúc này, \(f\) là song ánh và mình có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\) là \(x = f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}\).

Định nghĩa 1.8 (Ánh xạ hợp)

Xét hai ánh xạ \(f: X \to Y\), \(f(x) = y\) và \(g: Y \to Z\), \(z = g(y)\). Ánh xạ hợp của \(g\) và \(f\) được kí hiệu là

\[g \circ f: X \to Z, \quad z = g(y) = g(f(x)).\]

Định nghĩa 1.9 (Tích Descartes)

Tích Descartes của hai tập hợp \(A = \{ a_1, a_2, \cdots, a_n \}\) và \(B = \{ b_1, b_2, \cdots, b_m \}\) là tập hợp

\[A \times B = \{ (a_i, b_j) : a_i \in A, b_j \in B\}.\]

Ví dụ 1.3

Với \(A = \{1, 2, 3\}\) và \(B = \{ 4, 5 \}\) thì tích Descartes là

\[S = A \times B = \{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)\}.\]

Với nhiều tập hợp ta định nghĩa tich Descartes tương tự.

Ví dụ 1.4

Xét ba tập nguồn \(X\), \(Y\), \(Z\), và tập đích là \(T\), ánh xạ \(\phi : X \times Y \times Z \to T\), với \(\phi(x, y, z) \to t\) là ánh xạ ba biến, tập nguồn của ánh xạ khi này là tích Descartes \(X \times Y \times Z\).