2. Phương trình vi phân

2.1. Phương trình vi phân bậc nhất

Phương trình vi phân bậc nhất có dạng:

\[P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy = 0.\]

Nghiệm tổng quát có dạng \(y = \varphi(x, c)\) khả vi và thỏa mãn điều kiện của phương trình vi phân.

1. Hàm \(\varphi(x, c)\) là nghiệm của phương trình vi phân với hằng số \(c\).

2. Nếu \(y(x_0) = y_0\) thì có thể tìm được \(c_0\). Khi đó nghiệm được gọi là nghiệm riêng \(y = \varphi(x, c_0)\).

Định nghĩa 2.10 (Phương trình tách biến)

Phương trình tách biến (hay разделяющие переменные) là phương trình có dạng:

\[P_1(x) \cdot Q_1(y) \, dx + P_2(x) \cdot Q_2(y) \, dy = 0.\]

Để giải phương trình tách biến ta chia hai vế cho \(Q_1(y) \cdot P_2(x) \neq 0\) và giải

\[\int \frac{P_1(x)}{P_2(x)} \, dx + \int \frac{Q_2(y)}{Q_1(y)} \, dy = 0.\]

Nếu \(Q_1(y) \cdot P_2(x) = 0\) thì ta giải từng hàm riêng \(Q_1(y) = 0\) hoặc \(P_2(x) = 0\).

Định nghĩa 2.11 (Hàm thuần nhất bậc \(n\))

Hàm thuần nhất bậc \(n\) với tham số \(\lambda\) bất kì ta luôn có \(f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)\).

Ví dụ, \(f(x, y) = x^2 - 2xy\). Với các hàm thuần nhất ta có định nghĩa phương trình vi phân thuần nhất.

Định nghĩa 2.12 (Phương trình vi phân thuần nhất)

Phương trình vi phân \(y' = f(x, y)\) được gọi là thuần nhất nếu hàm \(f(x, y)\) là hàm thuần nhất bậc \(0\). Khi đó \(y' = \varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)\).

Để giải dạng này ta đặt \(\dfrac{y}{x} = u\). Như vậy \(y = ux\) và \(y' = u'x + ux'\).

2.2. Phương trình tuyến tính và phương trình Bernoulli

Định nghĩa 2.13 (Phương trình vi phân tuyến tính)

Phương trình vi phân được gọi là tuyến tính bậc nhất nếu nó có dạng \(y' + p(x) \cdot y = g(x)\).

Để giải phương trình tuyến tính ta có hai phương pháp là phương pháp Bernoulli và phương pháp Lagrange.

Đối với phương pháp Bernoulli, ta đặt \(y = uv\) với \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là một hàm được chọn từ lớp các hàm thỏa mãn với hằng số cố định. Khi đó \(y' = u'v + uv'\).

Phương trình vi phân khi này có dạng:

\[\begin{split}& y' + p(x) \cdot y = g(x) \\ \Leftrightarrow & u'v + v'u + p(x) \cdot u v = g(x) \\ \Leftrightarrow & u'v + u(v' + p(x) \cdot v) = g(x)\end{split}\]

Ta chọn \(v\) sao cho \(v' + p(x) \cdot v = 0\). Điều này tương đương với \(\dfrac{dv}{dx} + p(x) \cdot v = 0\) nên \(\ln \lvert v \rvert = -\int p(x)\, dx + \ln \lvert C \rvert\). Ở đây \(C\) là hằng số.

Để đơn giản, ta chọn \(C = 1\) thì \(v = e^{-\int p(x) \, dx}\).

Suy ra \(u'v = u' e^{-\int p(x)\, dx} = g(x)\) và biến đổi

\[\begin{split}& \frac{du}{dx} \cdot e^{-\int p(x) \, dx} = g(x) \\ \Longleftrightarrow \ & u = \int g(x) \cdot e^{-\int p(x) \, dx} \, dx + C \\ \Longleftrightarrow \ & y = uv = \ldots\end{split}\]

Đối với phương pháp Lagrange, ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với \(y' + p(x) \cdot y = g(x)\) là \(y' + p(x) \cdot y = 0\).

Khi đó ta biến đổi \(\dfrac{dy}{dx} = -p(x) \cdot y\) và giải được \(y = c e^{-\int p(x)\,dx}\) với \(c\) là hằng số.

Ta thay \(c\) bởi \(c(x)\) là hàm theo \(x\):

\[\begin{split}& y = c(x) \cdot e^{-\int p(x)\,dx} \\ \Longleftrightarrow \ & y' = c'(x) \cdot e^{-\int p(x)\,dx} + c(x) \cdot e^{-\int p(x)\,dx} \cdot (-p(x))\end{split}\]

và thay vào phương trình vi phân ban đầu:

\[\begin{split}& c'(x) \cdot e^{-\int p(x)\,dx} + \cancel{c(x) \cdot e^{-\int p(x)\,dx} \cdot (-p(x))} + \cancel{c(x) \cdot e^{-\int p(x)\,dx} \cdot p(x)} = g(x) \\ \Longleftrightarrow \ & c'(x) \cdot e^{-\int p(x)\,dx} = g(x) \\ \Longleftrightarrow \ & d c(x) = e^{\int p(x)\,dx} \cdot g(x)\,dx.\end{split}\]

Tới đây ta tìm được \(c(x)\) để có \(y\).

Ví dụ 2.5

Giải phương trình vi phân

\[y\,dx = (y^2 - x)\,dy.\]

Đầu tiên ta biến đổi phương trình

(2.2)\[\begin{split}y\,dx = (y^2 - x)\,dy \Longleftrightarrow & \, \frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = y \\ \Longleftrightarrow & \, x' + \frac{1}{y} = y.\end{split}\]

Đối với phương pháp Bernoulli, đặt \(x = uv\) với \(u = u(y)\) và \(v = v(y)\). Khi đó ta có \(x' = u'v + uv'\).

Từ (2.2) suy ra

\[\begin{split}& u'v + v'u + \frac{1}{y} \cdot uv = y \\ \Longleftrightarrow & u'v + u \left(v' + \frac{1}{y} \cdot v\right) = y.\end{split}\]

Ta tìm \(v\) sao cho \(v' + \dfrac{1}{y} v = 0\), tương đương với

\[\frac{dv}{dy} = -\frac{v}{y} \Longleftrightarrow \cdots \Longleftrightarrow v = \frac{1}{y}.\]

Thay vào (2.2) ta được

\[u'v = u' \cdot \frac{1}{y} = y \Longleftrightarrow u' = y^2 \Longrightarrow u = \frac{y^3}{3} + C.\]

Như vậy

\[x = uv = \left(\frac{y^3}{3} + c\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^2}{3} + \frac{C}{y}.\]

Đối vơi phương pháp Lagrange, ta xét dạng tuyến tính thuần nhất là \(x' + \dfrac{1}{y} \cdot x = 0\).

Khi đó

\[\frac{dx}{x} = -\frac{dy}{y} \Longleftrightarrow x = \frac{c}{y}\]

với \(c\) là hằng số. Bây giờ thay \(c\) thành \(c(y)\) ta có \(x = \dfrac{c(y)}{y}\).

Thay vào (2.2) ta có

\[\begin{split}& \, \frac{c'(y) y - c(y)}{y^2} + \frac{1}{y} \cdot \frac{c(y)}{y} = y \\ \Longleftrightarrow & \, \frac{c'(y)}{y} - \cancel{\frac{c(y)}{y^2}} + \cancel{\frac{c(y)}{y^2}} = y \\ \Longrightarrow & \, c(y) = \int\limits y^2\,dy = \frac{y^3}{3} + C.\end{split}\]

Như vậy ta có kết quả

\[x = \frac{c(y)}{y} = \left(\frac{y^3}{3} + C\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^2}{3} + \frac{C}{y}.\]

Định nghĩa 2.14 (Phương trình Bernoulli)

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:

\[y' + p(x) \cdot y = g(x) \cdot y^n, \ n \in \mathbb{N}, n \neq 0, n \neq 1.\]

Khi \(n = 0\) thì phương trình trở thành phương trình tuyến tính.

Để giải phương trình Bernoulli ta chia hai vế cho \(y^n\) thì được:

\[\frac{y'}{y^n} + \frac{p(x)}{y^{n-1}} = g(x).\]

Đặt \(\dfrac{1}{y^{n-1}} = z\) thì

\[z' = \dfrac{dz}{dx} = (1-n) \dfrac{1}{y^n} y'.\]

Như vậy \(\dfrac{1}{y^n} \cdot y' = \dfrac{z'}{1-n}\) và thay vào phương trình ban đầu ta có

\[\frac{1}{1-n} z' + p(x) \cdot z = g(x).\]

Từ đây ta giải phương trình tuyến tính.

2.3. Phương trình vi phân toàn phần. Nhân tử tích phân

Định nghĩa 2.15 (Phương trình vi phân toàn phần)

Phương trình vi phân được gọi là toàn phần (hay уравнение в полных дифферециалах) nếu vế trái có vi phân toàn phần là hàm \(u(x, y)\), nghĩa là:

\[P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = d u(x, y).\]

Định lí 2.4

Điều kiện cần và đủ để biểu thức

\[\Delta = P(x, y) \,dx + Q(x, y)\,dy,\]

với \(P(x,y)\) và \(Q(x,y)\) và đạo hàm riêng \(\dfrac{\partial P}{\partial y}\) và \(\dfrac{\partial Q}{\partial x}\) liên tục trên tập \(D\) nào đó, là phương trình vi phân toàn phần:

\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.\]

Chứng minh

Để chứng minh điều kiện cần, đặt \(\Delta\) là biểu thức có vi phân toàn phần, nghĩa là

\[\begin{split}& P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = d u(x, y) \\ \Longleftrightarrow \ & d u(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x} \, dx + \frac{\partial u}{\partial y} \, dy,\end{split}\]

với \(P(x, y) = \dfrac{\partial u}{\partial x}\) và \(Q(x, y) = \dfrac{\partial u}{\partial y}\).

Suy ra \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) và \(\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}\).

Khi đó \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\) và ta có điều phải chứng minh.

Để chứng minh điều kiện đủ, trên tập \(D\) ta có \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\).

Lúc này ta chứng minh tồn tại hàm \(u(x, y)\) trên \(D\) mà

\[d u(x, y) = P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy.\]

Giả sử ngược lại, \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = P(x, y)\) và \(\dfrac{\partial u}{\partial y} = Q(x, y)\).

Ở đây, ta cố định \(y\) và lấy tích phân theo \(x\) thì được:

\[u(x, y) = \int P(x, y)\,dx + \varphi(y),\]

với \(c = \varphi(y)\) là hằng số (do \(y\) cố định nên \(\varphi(y)\) cũng cố định). Suy ra ta có:

\[\begin{split}\frac{\partial u}{\partial y} = \left( \int P(x, y)\,dx\right)'_y + \varphi'(y) \\ \Longleftrightarrow Q(x, y) = \left( \int P(x, y)\,dx\right)'_y + \varphi'(y) \\ \Longleftrightarrow \varphi'(y) = Q(x, y) - \left( \int P(x, y)\,dx\right)'_y.\end{split}\]

Vế phải khi đạo hàm theo \(x\) là:

\[\begin{split}& \frac{\partial}{\partial x}\left( Q(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \left(\int P(x, y)\,dx\right) \right) \\ = & \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial y} \left( \int P(x, y)\,dx \right) \right) \\ = & \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial x} \left( \int P(x, y)\,dx \right) \right) \\ = & \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y} (P) = 0,\end{split}\]

từ đây suy ra:

\[\varphi(y) = \int \left( Q(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \left(\int P(x, y)\,dx\right) \right)\,dy + c,\]

với \(c\) là hằng số.

Khi điều kiện \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\) không thỏa mãn, ta nhân thêm hàm \(t(x, y)\) để thỏa điều kiện:

\[\frac{\partial}{\partial y}(t(x, y) \cdot P(x, y)) = \frac{\partial}{\partial x} (t(x, y) \cdot Q(x, y)).\]

Hàm \(t(x, y)\) khi đó được gọi là nhân tử tích phân (hay интегрирующий множитель). Lúc này phương trình biến đổi thành:

\[\begin{split}\frac{\partial t}{\partial y} \cdot P + \frac{\partial P}{\partial y} \cdot t = \frac{\partial t}{\partial x} \cdot Q + \frac{\partial Q}{\partial x} \cdot t \\ \Longleftrightarrow \frac{\partial t}{\partial y} \cdot P - \frac{\partial t}{\partial x} \cdot Q = t \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right).\end{split}\]

Lúc này ta chỉ cần tìm hàm \(t\) chỉ phụ thuộc \(x\) hoặc \(y\). Ví dụ với \(t = t(x)\) ta có thể biến đổi:

\[\begin{split}& -\frac{dt}{dx} Q = t \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \\ \Longleftrightarrow \ & \frac{dt}{t} = \frac{\partial P / \partial y - \partial Q / \partial x}{Q} \, dx \\ \Longleftrightarrow \ & t(x) = \exp\left(\int \frac{\partial P / \partial y - \partial Q / \partial x}{Q} \, dx \right).\end{split}\]

Tương tự, \(\displaystyle t(y) = \exp \left( \int \frac{\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y}{P} \, dy \right)\).

2.4. Phương trình Lagrange và Clairaut

Định nghĩa 2.16 (Phương trình Lagrange)

Phương trình Lagrange (уравнение Лагранжа) là phương trình có dạng:

\[y = x \varphi(y') + \psi(y'),\]

với \(\varphi\) và \(\psi\) là hai hàm số với \(y' = \dfrac{dy}{dx}\).

Để giải phương trình Lagrange ta đặt \(p = y'\). Khi đó \(y = x \varphi(p) + \psi(p)\). Lấy vi phân hai vế ta có:

\[\begin{split}\frac{dy}{dx} & = \varphi(p) + x \varphi'(p) p'+ \psi'(p) p' \\ & = \varphi(p) + x \varphi'(p) \frac{dp}{dx} + \psi'(p) \frac{dp}{dx}.\end{split}\]

Thay vào điều kiện ban đầu ta được:

\[(p - \varphi(p)) \frac{dx}{dp} - x \varphi'(x) = \psi'(p).\]

Đây là phương trình vi phân tuyến tính theo \(x = x(p)\).

Giải phương trình tìm được \(x = \lambda(p, c)\) với \(c\) là hằng số, thay lại điều kiện \(p = y'\) tìm được \(y = \gamma(x, c)\).

Chú ý rằng khi thay vào điều kiện ban đầu ta chia cho \(dp\) nên trước đó phải xét trường hợp \(dp = 0\), nói cách khác \(p = p_0\) là hằng số và \(p - \varphi(p) = 0\).

Nghiệm \(y = x \varphi(p_0) + \psi(p_0)\) gọi là nghiệm đặc trưng (hay особое решение).

Định nghĩa 2.17 (Phương trình Clairaut)

Phương trình Clairaut (уравнение Клеро) có dạng:

\[y = x y' + \psi(y').\]

Đây là phương trình Lagrange khi \(\varphi(y') = y'\).

Để giải phương trình này, đặt \(y' = p\) thì \(y = xp + \psi(p)\). Khi đó:

\[\begin{split}& \frac{dy}{dx} = p + xp' + \psi'(p) p' \\ \Longleftrightarrow \ & p = p + x \frac{dp}{dx} + \psi'(p) \frac{dp}{dx} \\ \Longleftrightarrow \ & (x + \psi'(p)) \frac{dp}{dx} = 0.\end{split}\]

Nếu \(\dfrac{dp}{dx} = 0\) thì \(p = c\) là hằng số. Nghiệm tổng quát là \(y = cx + \psi(c)\).

Nếu \(x + \psi'(p) = 0\) thì \(x = -\psi'(p)\). Suy ra \(y = xp + \psi(p)\) là nghiệm đặc trưng và không có dạng tổng quát.