2.3. Đa thức nội suy Lagrange

Trong đại số, công thức nội suy Lagrange cho phép chúng ta tìm được một đa thức \(f(x)\) trên trường \(\mathbb{F}\) bất kì khi biết được một số cặp \((x_i, f(x_i))\) nhất định với \(x_i, f(x_i) \in \mathbb{F}\).

Để tìm đa thức \(f(x)\) có bậc \(n\) ta cần ít nhất \(n+1\) cặp \((x_i, f(x_i) = y_i)\) với \(1 \leqslant i \leqslant n+1\) và \(x_i \neq x_j\) với mọi \(i \neq j\).

Khi đó, ta có công thức nội suy Lagrange như sau:

\[f(x) = \sum_{i=1}^{n+1} \left(y_i \cdot \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\right).\]

Ví dụ 2.3

Giả sử chúng ta có hàm \(f(x) = x^2 + x + 1\). Khi đó \(f(1) = 3\), \(f(-1) = 1\), \(f(0) = 1\).

Từ ba cặp \((x_i, f(x_i))\) trên mình sẽ tìm ngược lại \(f(x)\) ban đầu.

Theo công thức thì

\[\begin{split}f(x) = & y_1 \cdot \frac{(x - x_2) (x - x_3)}{(x_1 - x_2) (x_1 - x_3)} + y_2 \cdot \frac{(x - x1) (x - x_3)}{(x_2 - x_1) (x_2 - x_3)} \\ + & y_3 \cdot \frac{(x - x1) (x - x_2)}{(x_3 - x1) (x_3 - x_2)}\end{split}\]

Thay số vào thì ta có

\[f(x) = 3 \cdot \frac{(x - (-1)) (x - 0)}{(1 - (-1)) (1 - 0)} + 1 \cdot \frac{(x - 1) (x - 0)}{(-1 - 1) (-1 - 0)} + 1 \cdot \frac{(x - 1) (x - (-1))}{(0 - 1) (0 - (-1))}\]

Thu gọn lại ta có \(f(x) = x^2 + x + 1\) (đúng với hàm cần tìm).