2.1. Group homomorphism¶

2.1.1. Đồng cấu nhóm¶

Định nghĩa 2.3 (Homomorphism, Đồng cấu nhóm)

Xét hai nhóm $(G, \star)$ và $(H, *)$ và một ánh xạ $f: G \to H$.

Ánh xạ $f$ được gọi là đồng cấu (hay homomorphism) nếu với mọi $g_1$, $g_2$ thuộc $G$ ta có $f(g_1 \star g_2) = f(g_1) * f(g_2)$.

Do $g_1$, $g_2$ là các phần tử thuộc $G$ nên toán tử giữa chúng là $\star$. Trong khi đó $f(g_1)$, $f(g_2)$ là các phần tử thuộc $H$ nên toán tử giữa chúng là $*$.

Nhận xét 2.2

Gọi $e_G$ là phần tử đơn vị của $G$ và $e_H$ là phần tử đơn vị của $H$. Khi đó $f(e_G) = e_H$.
Với mọi phần tử $g \in G$, nếu $g^{-1}$ là nghịch đảo của $g$ trong $G$ thì $f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$.

Chứng minh

Nếu $e_G$ là phần tử đơn vị của $G$ thì với mọi $g \in G$ ta có $g \star e_G = e_G \star g = g$. Ta lấy $f$ cả ba vế và theo định nghĩa homomorphism thu được

\[f(g \star e_G) = f(e_G \star g) = f(g) \Rightarrow f(g) * f(e_G) = f(e_G) * f(g) = f(g).\]

Đẳng thức trên đúng với mọi $g \in G$ nên đúng với mọi $f(g)$, suy ra $f(e_G)$ là phần tử đơn vị trong nhóm $(H, *)$ và do đó $f(e_G) = e_H$.

Từ việc tìm ra phần tử đơn vị, ta cũng chứng minh được tính chất nghịch đảo trên.

2.1.2. Các loại homomorphism¶

Tương tự như ánh xạ, chúng ta có các loại homomorphism sau

Định nghĩa 2.4 (Monomorphism, Đơn cấu)

Ánh xạ được gọi là đơn cấu (hay monomorphism) nếu nó là ánh xạ one-to-one (đơn ánh). Nói cách khác, với mọi $g_1$, $g_2 \in G$ mà $g_1 \neq g_2$ thì $f(g_1) \neq f(g_2)$.

Định nghĩa 2.5 (Epimorphism, Toàn cấu)

Ánh xạ được gọi là toàn cấu (hay epimorphism) nếu nó là ánh xạ onto (toàn ánh). Nói cách khác, với mọi $h \in H$ thì tồn tại $g \in G$ mà $f(g) = h$.

Định nghĩa 2.6 (Isomorphism, Đẳng cấu)

Ánh xạ được gọi là đẳng cấu (hay isomorphism) nếu nó là ánh xạ one-to-one và onto (song ánh). Nói cách khác, ánh xạ này vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.

Định lí 2.2 (Định lí Cayley)

Mọi nhóm hữu hạn đều đẳng cấu (isomorphism) với một nhóm con nào đó của nhóm hoán vị.

Chứng minh định lí Cayley

Giả sử ta có nhóm hữu hạn $G = \{ g_1, g_2, \ldots g_n \}$.

Với mỗi $g \in G$, ta xây dựng hoán vị $\varphi_g$ theo $g$:

\[\begin{split}\begin{pmatrix} g_1 & g_2 & \ldots & g_i & \ldots & g_n \\ g_1 g & g_2 g & \ldots & g_i g & \ldots & g_n g \end{pmatrix} = \varphi_g\end{split}\]

Ta chọn $g', g'' \in G$. Khi đó:

\[\begin{split}\varphi_{g' g''} = & \begin{pmatrix} g_1 & g_2 & \ldots & g_i & \ldots & g_n \\ g_1 g' g'' & g_2 g' g'' & \ldots & g_i g' g'' & \ldots & g_n g' g'' \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} g_1 & g_2 & \ldots & g_i & \ldots & g_n \\ g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_i g' & \ldots & g_n g' \end{pmatrix} \\ \times & \begin{pmatrix} g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_i g' & \ldots & g_n g' \\ (g_1 g') g'' & (g_2 g') g'' & \ldots & (g_i g') g'' & \ldots & (g_n g') g'' \end{pmatrix}.\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{pmatrix} g_1 & g_2 & \ldots g_i & \ldots & g_n \\ g_1 g' & g_2 g' & \ldots g_i g' & \ldots & g_n g' \end{pmatrix} = \varphi_{g'},\end{split}\]

và

\[\begin{split}\begin{pmatrix} g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_i g' & \ldots & g_n g' \\ (g_1 g') g'' & (g_2 g') g'' & \ldots & (g_i g') g'' & \ldots & (g_n g') g'' \end{pmatrix} = \varphi(g'')\end{split}\]

nên $\varphi_{g' g''} = \varphi(g') \cdot \varphi(g'')$ nên $\varphi$ là đồng cấu (homomorphism).

Để chứng minh $\varphi$ là song ánh, ta chứng minh $\varphi$ là đơn ánh và toàn ánh.

Giả sử $\varphi(g) = \varphi(g')$. Theo định nghĩa hoán vị thì $g = g'$ nên $\varphi$ là đơn ánh.

Giả sử ta có hoán vị

\[\begin{split}\sigma = \begin{pmatrix} g_1 & g_2 & \ldots & g_n \\ g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_n g' \end{pmatrix},\end{split}\]

ta nhân với $g'^{-1}$ thì tìm được hoán vị ngược của $\sigma$. Như vậy $\varphi$ là toàn ánh.

Kết luận: $\varphi$ là song ánh và là đẳng cấu (isomorphism).

Định nghĩa 2.7 (Automorphism, Tự đẳng cấu)

Ánh xạ được gọi là tự đẳng cấu (hay automorphism) nếu nó là song ánh từ nó lên chính nó. Ta kí hiệu tự đồng cấu nhóm $G$ là $\mathrm{Aut}(G)$.

2.1.3. Hạt nhân và ảnh¶

Xét một homomorphism $f$ từ nhóm $(G, \star)$ tới nhóm $(H, *)$.

Định nghĩa 2.8 (Kernel, Hạt nhân)

Hạt nhân (hay kernel) của $f$ là tập hợp các phần tử của $G$ cho ảnh là $e_H$, kí hiệu là $\ker f$. Nói cách khác

\[\ker f = \{ g \in G : f(g) = e_H \}.\]

Như vậy $ker f$ là tập con của $G$.

Nhận xét 2.3

$K = \ker f$ là normal subgroup của $G$.

Chứng minh

Để chứng minh, ta thấy rằng theo định nghĩa homomorphism, với $g_1, g_2 \in K$ thì $f(g_1) = f(g_2) = e_H$.

Ta có

\[f(g_1 \star g_2) = f(g_1) * f(g_2) = e_H * e_H = e_H.\]

Như vậy $g_1 \star g_2 \in K$ nên $K$ là nhóm con của $G$.

Tiếp theo để chứng minh $K$ là normal subgroup, ta chứng minh $g K g^{-1} = K$ với mọi $g \in G$.

Do $g K g^{-1} = \{ g \star k \star g^{-1} : k \in K \}$, lấy $f$ mỗi phần tử bên trong ta có

\[f(g \star k \star g^{-1}) = f(g) * f(k) * f(g^{-1}) = f(g) * e_H * f(g^{-1}) = f(g) * f(g^{-1}),\]

mà theo tính chất của homomorphism thì

\[f(g^{-1}) = f(g)^{-1} \Rightarrow f(g \star k \star g^{-1}) = f(g) * f(g)^{-1} = e_H,\]

suy ra $g \star k \star g^{-1} \in K$ với mọi $g \in G$, với mọi $k \in K$. Do đó $g K g^{-1} = K$ và ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 2.9 (Image, Ảnh)

Ảnh (hay image) của $f$ là tập hợp tất cả giá trị nhận được khi biến các phần tử thuộc $G$ thành phần tử thuộc $H$. Nói cách khác

\[\mathrm{im} f = \{ f(g) : g \in G \}.\]

Như vậy $\mathrm{im} f$ là tập con của $H$.

Dựa trên hai khái niệm này, chúng ta có một định lý quan trọng trong lý thuyết nhóm là Định lí thứ nhất về sự đẳng cấu (First isomorphism theorem).

Định lí 2.3 (Định lí thứ nhất về sự đẳng cấu)

Với hai nhóm $(G, \star)$ và $(H, *)$. Xét homomorphism $f: G \to H$. Khi đó $\mathrm{im} f$ đẳng cấu (isomorphism) với nhóm thương $G / \ker f$.

Chứng minh

Gọi $G$, $H$ là hai nhóm và homomorphism $f: G \to H$.

Đặt $K = \ker f$. Ta xét biến đổi

\[\theta:\,\mathrm{im} f \to G / K, f(g) \to g K\]

với $g \in G$.

Ta cần chứng minh biến đổi này là ánh xạ xác định (well-defined, nghĩa là tuân theo quy tắc ánh ánh xạ, mỗi phần tử tập nguồn biến thành một và chỉ một phần tử tập đích), là homomorphism, là đơn ánh và là toàn ánh.

Đầu tiên ta chứng minh ánh xạ xác định. Giả sử ta có $g_1 K = g_2 K$, do $g_1$ và $g_2$ thuộc cùng coset nên $g_1^{-1} g_2 \in K$, hay $f(g_1^{-1} g_2) = e_H$.

Với $f$ là homomorphism, ta có

\[f(g_1^{-1} g_2) = f(g_1^{-1}) f(g_2) = f(g_1)^{-1} f(g_2) = e_H.\]

Suy ra $f(g_1) = f(g_2)$. Như vậy nếu $f(g_1) = f(g_2)$ thì $\theta (f(g_1)) = \theta (f(g_2))$.

Tiếp theo ta chứng minh $\theta$ là homomorphism. Do $K$ là normal subgroup của $G$ nên với mọi $g_1$, $g_2$ thuộc $G$ thì $g_1 g_2 K = (g_1 K) (g_2 K)$.

Do $f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$ nên

\[\theta (f(g_1 g_2)) = g_1 g_2 K = (g_1 K) (g_2 K) = \theta (f(g_1)) \theta (f(g_2)).\]

Suy ra $\theta$ là homomorphism.

Dễ thấy với mọi $g \in G$ ta đều tìm được $f(g)$ và $g K$ tương ứng. Do đó $\theta$ là toàn ánh.

Để chứng minh $\theta$ là đơn ánh, giả sử $g_1 K = g_2 K$ ta có $g_1^{-1} g_2 \in K$ nên $f(g_1^{-1} g_2) = e_H$, suy ra

\[f(g_1^{-1}) f(g_2) = e_H \Rightarrow f(g_1)^{-1} f(g_2) = e_H \Rightarrow f(g_1) = f(g_2).\]

Như vậy $\theta$ là đơn ánh.

Kết luận, $\theta$ là song ánh. Định lí thứ nhất về sự đẳng cấu được chứng minh.

Ví dụ 2.4 (Bài tập sưu tầm từ LAPLAS)

Chứng minh rằng $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})/H \cong \mathbb{R}^+$, với $H$ là nhóm con các ma trận có định thức bằng $1$.

Giải

Để ý rằng $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. Xét ánh xạ:

\[f: \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{R}^+, f(\bm{A}) = \lvert\det(\bm{A})\rvert.\]

Vì $\det(\bm{A} \cdot \bm{B}) = \det(\bm{A}) \cdot \det(\bm{B})$ nên $f$ là đồng cấu nhóm. Khi đó với mọi số thực dương $r$, tồn tại ma trận $\bm{A} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ sao cho $f(\bm{A}) = \lvert\det(\bm{A})\rvert = r$, ví dụ như

\[\begin{split}\begin{pmatrix} r & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Như vậy $f$ cũng là toàn cấu.

Ở đây $\ker f = H$ nên theo định lí thứ nhất về sự đẳng cấu, ta có

\[\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) / H \cong \mathbb{R}^+.\]