1.1. Nhóm

1.1.1. Nhóm và nhóm con

Định nghĩa 1.16 (Nhóm)

Một tập hợp \(G\) và toán tử hai ngôi \(\star\) trên \(G\) tạo thành một nhóm (hay group, группа) nếu:

1. Tồn tại phần tử \(e \in G\) sao cho với mọi \(g \in G\) thì

\[\boxed{g \star e = e \star g = g.}\]

Khi đó \(e\) được gọi là phần tử đơn vị của \(G\).

2. Với mọi \(g \in G\), tồn tại \(g' \in G\) sao cho

\[\boxed{g \star g' = g' \star g = e.}\]

Khi đó \(g'\) được gọi là phần tử nghịch đảo của \(g\).

3. Tính kết hợp: với mọi \(a, b, c \in G\) thì

\[\boxed{a \star (b \star c) = (a \star b) \star c.}\]

Định nghĩa 1.17 (Nhóm Abel)

Nếu nhóm \(G\) có thêm tính giao hoán, tức là với mọi \(a, b \in G\) thì \(a \star b = b \star a\) thì \(G\) gọi là nhóm giao hoán (commutative group, коммутативная группа) hoặc nhóm Abel (abelian group, абелева группа).

Ví dụ 1.12

Xét tập hợp số nguyên \(\mathbb{Z}\) và phép cộng hai số nguyên.

1. Phần tử đơn vị là \(0\) vì với mọi \(a \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 0 = 0 + a = a\).

2. Với mọi \(a \in \mathbb{Z}\), phần tử nghịch đảo là \(-a\) vì \(a + (-a) = (-a) + a = 0\).

3. Phép cộng số nguyên có tính kết hợp do đó thỏa mãn điều kiện về tính kết hợp.

Như vậy \((\mathbb{Z}, +)\) tạo thành nhóm. Lưu ý do phép cộng hai số nguyên có tính giao hoán nên đây cũng là nhóm Abel.

Ví dụ 1.13

Xét tập hợp số hữu tỉ khác \(0\) là \(\mathbb{Q}^*\) và phép nhân hai số hữu tỉ. Do \(a, b \in \mathbb{Q}^*\) nên tích \(a \cdot b\) cũng khác \(0\), do đó cũng thuộc \(\mathbb{Q}^*\).

1. Phần tử đơn vị là \(1\) vì với mọi \(a \in \mathbb{Q}^*\) thì \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\).

2. Với mọi \(a \in \mathbb{Q}^*\), phần tử nghịch đảo là \(\dfrac{1}{a}\) vì \(a \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a} \cdot a = 1\).

3. Phép nhân hai số hữu tỉ có tính kết hợp do đó thỏa mãn điều kiện về tính kết hợp.

Tương tự như nhóm \((\mathbb{Z, +})\), nhóm \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) cũng là nhóm Abel.

Định nghĩa 1.18 (Order của nhóm)

Order (hay порядок) của nhóm \(G\) là lực lượng (hay số phần tử, carninality, мощность) của nhóm đó và kí hiệu là \(\lvert G \rvert\).

Đối với nhóm có vô hạn phần tử, ta quy ước order của nhóm bằng \(0\), ví dụ như với hai nhóm \((\mathbb{Z}, +)\) và \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) ở trên.

1.1.2. Nhóm con

Định nghĩa 1.19 (Nhóm con)

Cho nhóm \((G, \star)\). Tập hợp \(H \subset G\) được gọi là nhóm con (hay subgroup, подгруппа) của \(G\) nếu với mọi \(a, b \in H\) thì \(a \star b \in H\).

Nói cách khác, toán tử \(\star\) đóng với các phần tử trong \(H\).

Ví dụ 1.14

Xét nhóm \((\mathbb{Z}, +)\) như trên. Ta xét tập con gồm các số chẵn của nó

\[2\mathbb{Z} = \{ \ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots \}.\]

Ta thấy rằng tổng hai số chẵn vẫn là số chẵn, nghĩa là phép cộng số nguyên đóng trên \(2\mathbb{Z}\).

Do đó \((2\mathbb{Z}, +)\) là nhóm con của \((\mathbb{Z}, +)\).

Tổng quát, mọi tập hợp có dạng \(n \mathbb{Z}\) đều là nhóm con của \((\mathbb{Z}, +)\).

Định lí 1.2 (Định lý Lagrange)

Order của nhóm luôn chia hết order của một nhóm con bất kì của nó.

1.1.3. Nhóm vòng

Định nghĩa 1.20 (Nhóm vòng)

Nhóm \(G\) được gọi là nhóm vòng (hay cyclic group, циклическая группа) nếu tồn tại phần tử \(g \in G\) mà mọi phần tử trong \(G\) đều được biểu diễn dưới dạng \(g^i\). Khi đó ta kí hiệu \(G = \langle g \rangle\) hoặc \(G = \{ g, g^1, \ldots, g^n \}\).

Thông thường ta quy ước \(g^n = g^0 = e\).

Đối với nhóm \((\mathbb{Z}_n, +_n)\) xác định phép cộng modulo \(n\), ta kí hiệu

\[ig = \underbrace{g + g + \ldots + g}_{i \,\text{lần}}.\]

Ta viết

\[G = \{ 1g, 2g, 3g, \ldots, ng \}.\]

Phần tử \(g\) được gọi là phần tử sinh (hay образующий элемент) của nhóm vòng \(G\).

Như vậy, số lượng phần tử sinh của \(\mathbb{Z}_n\) là \(\varphi(n)\) với \(\varphi\) là hàm Euler. Lúc này điều kiện để phần tử \(j\) là phần tử sinh tương đương với

\[\langle j \rangle = \mathbb{Z}_n \Longleftrightarrow (j, n) = 1.\]

Định nghĩa 1.21 (Elementary abelian group)

Nhóm vòng được gọi là elementary abelian (hay примарная абелева группа) nếu bậc của nhóm là số nguyên tố.

1.1.4. Coset

Định nghĩa 1.22 (Coset, lớp kề)

Cho nhóm \(G\) và nhóm con \(H\) của \(G\).

Coset trái của \(H\) đối với phần tử \(g \in G\) là tập hợp

\[gH = \{gh : h \in H \}.\]

Tương tự, coset phải là tập hợp

\[Hg = \{hg : h \in H \}.\]

Từ đây nếu không nói gì thêm ta ngầm hiểu là coset trái.

Ví dụ với nhóm con \(2\mathbb{Z}\) của \(\mathbb{Z}\), ta thấy rằng:

1. Nếu \(g \in \mathbb{Z}\) là lẻ thì khi cộng với bất kì phần tử nào của \(2\mathbb{Z}\) ta nhận được số lẻ.

2. Nếu \(g \in \mathbb{Z}\) là chẵn thì khi cộng với bất kì phần tử nào của \(2\mathbb{Z}\) ta nhận được số chẵn.

Nói cách khác, coset của \(2\mathbb{Z}\) chia tập \(\mathbb{Z}\) thành

\[\begin{split}0 + 2\mathbb{Z} & = \{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}, \\ 1 + 2\mathbb{Z} & = \{\ldots, -3, -1, 1, 3, 5, \ldots \}.\end{split}\]

Rõ ràng hai coset trên rời nhau.

Nhận xét 1.2

Hai coset bất kì hoặc rời nhau, hoặc trùng nhau.

Chứng minh

Nếu hai coset rời nhau thì không có gì phải nói. Ta chứng minh trường hợp còn lại.

Giả sử \(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\). Như vậy tồn tại \(h_1, h_2 \in H\) mà \(g_1 h_1 = g_2 h_2\).

Do \(h_1^{-1} \in H\), ta có \(g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}\), nghĩa là \(g_1 \in g_2 H\).

Mà mọi phần tử trong \(g_1 H\) có dạng \(g_1 h\) nên \(g_1 h = g_2 h_2 h_1^{-1} h\). Do \(H\) là nhóm con của \(G\) nên \(h_2 h_1^{-1} h \in H\).

Từ đó \(g_1 H \subseteq g_2 H\). Tương tự ta cũng có \(g_2 H \subseteq g_1 H\). Vậy \(g_1 H = g_2 H\).

1.1.5. Normal Subgroup

Định nghĩa 1.23 (Normal Subgroup)

Nhóm con \(H\) của \(G\) được gọi là normal subgroup (hay нормальная подгруппа, nhóm con chuẩn tắc) nếu với mọi \(g \in G\) ta có coset trái trùng với coset phải.

\[gH = Hg \quad \text{ với mọi } g \in G.\]

Nếu \(H\) là normal subgroup của \(G\) ta kí hiệu \(H \triangleleft G\). Khi đó, với mọi \(a, b \in G\) thì \((a H) (b H) = (ab) H\).

Định nghĩa 1.24 (Quotient Group)

Với nhóm \(G\) và normal subgroup của nó là \(H\).

Quotient Group (hay nhóm thương) được kí hiệu là \(G / H\) và được định nghĩa là tập hợp các coset tương ứng với normal subgroup \(H\).

\[G / H = \{gH : g \in H \}.\]

Ta thấy rằng điều này chỉ xảy ra nếu \(H\) là normal subgroup.

Quotient Group còn được gọi là Factor Group (hay nhóm nhân tử).

Ví dụ 1.15

Với nhóm \(\mathbb{Z}\) và normal subgroup của nó là \(2\mathbb{Z}\).

Ta thấy

\[\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} = \{0 + 2 \mathbb{Z}, 1 + 2 \mathbb{Z} \}.\]

1.1.6. Direct sum of modules

Прямая сумма

Có hai dạng tổng là external và internal.

Định nghĩa 1.25 (External direct sum)

Giả sử ta có các nhóm \((G_1, *)\), \((G_2, \star)\), ..., \((G_t, \circ)\). Khi đó externel direct sum của các nhóm \(G_1\), ..., \(G_t\) là:

\[G = G_1 \times G_2 \times G_t, \quad (G, \square).\]

Giả sử \(g = (g_1, g_2, \ldots, g_t) \in G\) với \(g_i \in G_i\), và \(g' = (g'_1, g'_2, \ldots, g'_t) \in G\) với \(g_i' \in G_i\). Khi đó:

\[g \square g' = (g_1 * g'_1, g_2 \star g'_2, \ldots, g_t \circ g'_t).\]

Định nghĩa 1.26 (Internal direct sum)

Giả sử ta có nhóm \((G, \circ)\) và các nhóm con \(G_1\), \(G_2\), ..., \(G_t\) của \(G\). Khi đó internal direct sum là:

1. Với mọi \(g \in G\) thì \(g = g_1 \circ g_2 \circ \ldots \circ g_t\) với \(g_i \in G_i\).

2. Với mọi \(i, j\) mà \(i \neq j\), \(1 \leqslant i, j \leqslant t\) ta có

\[g_i \circ g_j = g_j \circ g_i\]

với mọi \(g_i \in G_i\) và \(g_j \in G_j\).