Toán học là gì với mình?¶
Mình không giỏi toán. Tuy nhiên toán lại là môn mình dành nhiều thời gian nhất trong suốt 10 năm (2015 tới 2025). Đây là mối lương duyên không tầm thường, nhưng cũng không hề lãng mạn tí nào.
Những ngày đầu học toán¶
Mình bắt đầu học toán nhiều từ cấp 2 nhưng cũng không quá đặc sắc. Mình chỉ đơn giản là làm nhiều bài tập hơn, nhiều dạng hơn thôi. Mình may mắn được học với thầy cô tâm huyết, cũng như các bạn học cùng chí hướng. Nhờ các cô dạy toán và bạn bè mà mình tiến bộ, biết thêm nhiều kiến thức mới (đặc biệt từ chỗ mấy bạn học thêm ở trung tâm 218 ^^).
Năm 2015 mình vào lớp 10 chuyên toán. Sau ba năm thì mình nhận ra mình học toán rất ... tệ, nhưng mình cũng nhận ra đam mê mạnh mẽ của mình cho môn toán. Mình rất biết ơn các thầy, cô trong trường, luôn giúp đỡ và động viên mình, cũng như cho mình thấy được nhiều lối tư duy khác nhau. Đặc biệt, chuyên toán học toán theo cách khác với những lớp khác mà tư duy đó mình vẫn sử dụng tới tận hiện nay.
Thầy chủ nhiệm lớp mình suốt 3 năm là giáo viên toán. Mình kính trọng thầy không chỉ vì thầy giỏi, mà thầy dạy mình cách học toán sao cho đúng. Thông thường học sinh chúng mình bám theo các tính chất để giải bài toán. Ví dụ, đường phân giác của một góc thường được hiểu là đường chia đôi góc đó. Tuy nhiên thầy nói đó là tính chất, không phải định nghĩa. Đường phân giác của góc là tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của góc.
Càng học nhiều toán thì mình càng nhận thấy định nghĩa là nơi bắt đầu mọi thứ, là điểm quan trọng nhất của các vấn đề toán học. Các tính chất giúp chúng ta tìm lời giải nhanh hơn, nhưng khi bế tắc thì định nghĩa là nơi để chúng ta bám vào và tìm hướng giải. Trong trường hợp hình học, mỗi đối tượng hình học đều là một tập hợp điểm. Do đó chúng ta có thể nói điểm là đơn vị cơ bản nhất. Các định nghĩa đóng vai trò xây dựng nên nền tảng toán học mà về sau mình mới hiểu được ý nghĩa của chúng và hậu quả nếu chúng "có vấn đề". Phần sau mình sẽ nói rõ hơn về điều này.
Một điều quan trọng mình được thầy nhắc là không nên bám vào
các phương pháp giải toán. Thông thường các sách tham khảo,
khóa học ở cấp 3 sẽ theo dạng Bài 1. Chủ đề A. Phương pháp 1
rồi lại Bài 2. Chủ đề A. Phương pháp 2. Theo mình, các phương
pháp rất hữu ích khi gặp bài đúng dạng, chỉ cần "áp dụng công
thức" là xong. Tuy nhiên việc học theo phương pháp cũng là con
dao hai lưỡi. Nếu chúng ta gặp dạng chưa học thì khả năng cao
là chịu chết. Việc đọc các phương pháp giải bài là cần thiết để
có nhiều phương án giải quyết khác nhau, nhưng quan trọng là
khả năng tư duy để kết nối những cái mới gặp với những điều đã
biết. Một bài hình học gồm dữ kiện và học sinh cần giải quyết
bốn câu hỏi nhỏ (a), (b), (c), (d). Đây thường là cấu trúc
của câu hình học trong đề tuyển sinh lớp 10 ở thời mình.
Tất nhiên là dù đề chung hay đề thi chuyên toán luôn có những
bạn làm trọn vẹn bốn câu. Vấn đề là, khi cắt bỏ ba câu hỏi (a),
(b), (c) và chỉ bảo giải câu (d) thì bài toán trở thành tầm quốc
gia, quốc tế (VMO, IMO). Lý do rất đơn giản, những câu (a), (b),
(c), (d) được tăng dần theo độ khó và câu trước thường là tiền
đề để giải hoặc làm gợi ý cho câu sau. Khi chúng ta mất gợi ý
thì chúng ta sẽ tiếp cận ra sao để giải quyết câu (d)? Đây
chính là thực tế của toán học nói chung. Nhiều công thức, định
lí được phát biểu đơn giản, ngắn gọn như câu (d) của đề tuyển
sinh, nhưng để chứng minh chúng thì mất mấy trăm năm nỗ lực
của con người chứ không phải một lề sách là đủ.
Hai điều thầy nói có thể thấy rõ trong các cuộc thi olympiad toán, và cũng là thực tế trong toán học. Câu khó thường có dạng:
Số \(A\) được gọi là số như này nếu nó thỏa mãn các điều kiện như kia. Hãy chứng minh nếu \(A\) là số như này thì nó sẽ có các tính chất như nọ.
Đây là một dạng toán rất khó nhằn vì chúng ta đụng phải một khái niệm, định nghĩa mới lạ. Lúc này chúng ta phải bám sát định nghĩa vì đó là thứ duy nhất đề cho chúng ta để chứng minh tính chất. Vấn đề là chỉ với mỗi định nghĩa không giúp chúng ta tìm phương pháp giải. Việc dựa trên các phương pháp đã biết còn tùy vào chúng ta liên kết được định nghĩa đó với kiến thức, kinh nghiệm và trải nghiệm của bản thân tới mức nào. Điều thú vị là kiến thức, kinh nghiệm và trải nghiệm có thể được nâng cao nhờ sự chăm chỉ và rèn luyện "trực giác". Đối với người không giỏi toán như mình thì việc nâng khả năng của trực giác rất có lợi, cho phép mình "phán đoán" cách tiếp cận sẽ đưa tới lời giải. Làm càng nhiều, sự thấu hiểu và cảm nhận của mình với những bài toán càng nhạy.
Một giáo viên dạy toán khác của lớp mình cũng đã để lại nhiều bài học quý giá. Một lần nữa, câu chữ trong toán học rất quan trọng và chúng ta phải cẩn thận khi xử lý. Các bạn có thể thấy hai cách viết \(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}\) và \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\) giống nhau vì đều chỉ việc bỏ số \(0\) khỏi tập số thực \(\mathbb{R}\). Tuy nhiên khi xét đến các khoảng (đoạn) xác định của hàm số thì đây là vấn đề rất quan trọng. Khi xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm, giả sử hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) với đạo hàm \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}\). Khi đó chúng ta có thể nói rằng hàm số \(f(x)\) xác định trên tập \(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}\). Tuy nhiên, nếu chúng ta kết luận rằng \(f(x)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}\) thì đây là kết luận sai hoàn toàn. Kết luận đúng phải dựa trên các khoảng xác định, nghĩa là hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-\infty, 0)\) và \((0, +\infty)\). Ở [1] (trang 220, định lí 2) ghi rằng:
Giả sử hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(\mathbb{I}\). Khi đó
Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{I}\) thì \(f\) đồng biến trên \(\mathbb{I}\).
Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{I}\) thì \(f\) nghịch biến trên \(\mathbb{I}\).
Nếu \(f'(x) = 0\) với mọi \(x \in \mathbb{I}\) thì \(f\) có giá trị không đổi trên \(\mathbb{I}\).
Ở đây, sách giáo khoa ghi rõ ràng khoảng xác định mà trên đó hàm số có đạo hàm, nghĩa là không được nói \(f(x)\) ở trên nghịch biến trên một khoảng "hụt" ở giữa như \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\) hay \(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}\), mà phải là nghịch biến trên hai khoảng xác định: \((-\infty, 0)\) và \((0, +\infty)\).
Một vấn đề quan trọng dễ bị sai sót là các mệnh đề "Nếu như này thì như kia". Theo ngôn ngữ logic thì đây là phép kéo theo.
Phép kéo theo "Nếu \(P\) thì \(Q\)" hay "\(P \Rightarrow Q\)", trong đó \(P\) và \(Q\) là hai mệnh đề, sai khi \(P\) đúng và \(Q\) sai, và đúng trong các trường hợp còn lại.
Thông thường có hai điểm dễ bị hiểu nhầm hoặc cố tình hiểu nhầm (khi đánh tráo khái niệm, bẻ cong logic, ...).
Đây là phép kéo theo, nghĩa là phải hội tụ đủ tất cả điều kiện \(P\) thì chúng ta mới có \(Q\).
Khi phủ định hai mệnh đề ta không thu được mệnh đề cùng tính đúng sai với mệnh đề ban đầu, tức là khi có \(\overline{P}\) chưa chắc có \(\overline{Q}\). Mình thấy việc này xảy ra gần như trong tất cả lĩnh vực không riêng toán, không biết do vô tình hay cố ý. Ví dụ mình có mệnh đề "Nếu trời mưa thì đường ướt". Như vậy có thể suy ra "Nếu trời không mưa thì đường không ướt"? Câu trả lời là chưa chắc, đường vẫn có thể ướt vì lý do khác, ví dụ như nước bị rò rỉ ở đường ống gần đó.
Về mặt logic thì phép kéo theo \(P \Rightarrow Q\) sẽ hoàn toàn tương đương phép kéo theo \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\), trong đó \(\overline{P}\) và \(\overline{Q}\) là mệnh đề phủ định của \(P\) và \(Q\). Với ví dụ trên, chúng ta suy ra được "Nếu đường không ướt thì trời không mưa". Mệnh đề này có cùng giá trị logic với mệnh đề ban đầu "Nếu trời mưa thì đường ướt": đúng thì đúng chung, sai thì sai chung. Đây là vấn đề khi lên đại học và đối chiếu sách vở mình rút ra được. Ở cấp 3 mình chỉ được nhắc rằng việc phủ định chưa chắc đúng còn lý do đằng sau (như mình vừa trình bày) thuộc khuôn khổ nội dung về logic và được giảm tải ở thời mình. Khi lên đại học thì môn toán rời rạc thường sẽ có phần cơ sở logic chính là nền tảng của phép kéo theo.
Đại học, tình yêu không thành với toán¶
Khi được tiếp cận các kiến thức toán cao hơn ở đại học thì mình nhận ra một vấn đề thú vị của bản thân: mình học toán rời rạc (lý thuyết số, hàm Boolean, lý thuyết nhóm) tốt hơn toán liên tục (các loại giải tích). Hệ quả là mình dở tệ môn vật lý vì nhiều kiến thức về giải tích được áp dụng để giải quyết các bài toán vật lý. Artificial Intelligence (AI) và Machine Learning (ML) là những từ khóa "hot trend" nhất lúc mình học đại học, nhưng vì khả năng toán liên tục yếu kém mà mình sớm đuối sức và không đi sâu nữa. Tuy nhiên mình vẫn có hy vọng sẽ hiểu một ngày nào đó ^-^. Do đó thay vì AI/ML mình đã chọn theo mật mã học (cryptography), cụ thể là mã hóa khóa đối xứng (symmetric key cryptography) dựa trên các hàm Boolean. Mình thấy mình theo lĩnh vực này bớt thảm hơn AI/ML nên là mình theo tới tận bây giờ (2025).
Khi lên đại học, các kiến thức trở nên phức tạp hơn cả về bề rộng lẫn chiều sâu. Chúng ta thường sẽ học nhiều kiến thức hơn (mở rộng) nhưng đồng thời học sâu bản chất (chiều sâu). Mình thích ham vui nên mình học rất nhiều loại toán: giải tích, xác suất thống kê, hình học giải tích, hình học affine, hình học phi Euclid, lý thuyết số, đại số Booelan, đại số tuyến tính, lý thuyết đồ thị, lý thuyết tập hợp, ...
Đa phần trong đó là ... cưỡi ngựa xem hoa. :) Các bạn có thể thấy những môn về toán rời rạc mình học rất nhiều và viết rất kỹ ở notebook này, mỗi tội đa phần vẫn là cơ bản. :) Các kiến thức về toán liên tục ở notebook này vào thời điểm hiện tại còn ít.
Quan niệm của mình về toán học¶
Mình thích toán vì sự logic và chặt chẽ của nó. Khi học những môn trừu tượng như lý thuyết nhóm, số phức, ... thì mình còn thích hơn vì khi đó có một nền tảng chung, trừu tượng hơn cho những gì chi tiết. Ví dụ, hình học Euclid được xây dựng dựa trên các tiên đề của Euclid từ quan sát trực quan. Về sau, các nhà toán học xây dựng một nền tảng cao hơn mà với một điều kiện nhất định thì Euclid đúng, nhưng với một điều kiện khác thì Euclid nhường chỗ cho người khác. Lúc này trực quan không còn đúng nữa mà phụ thuộc vào trí tưởng tượng, sáng tạo của con người. Cách tiếp cận tổng quát hóa này giúp làm đơn giản vấn đề nhưng cũng là cơ sở cho những "hạt giống" khác phát triển ở nhiều lĩnh vực khác.
Năm 2024 mình có xem một series trên Youtube của kênh Nhận thức mới về định lí bất toàn của Godel do giáo sư Phạm Việt Hưng trình bày. Mình thấy series rất thú vị và mình có nhiều quan điểm giống giáo sư, nhưng cũng có nhiều quan điểm trái ngược.
Mặc dù toán học logic và chặt chẽ, nhưng định lí bất toàn đã chứng minh được rằng toán học không hoàn hảo. Quan trọng hơn là tính đúng đắn của toán học nằm ngoài toán học và có nhiều điều, kể cả trong toán học, chúng ta không thể biết là đúng hay sai. Điều này mình đồng ý với Godel lẫn giáo sư. Tuy nhiên một vấn đề là nếu toán học sai thì sẽ hậu quả sẽ rất khủng khiếp. Ví dụ, trước khi khái niệm "giới hạn" ra đời thì người xưa có những lập luận đúng về mặt logic nhưng sai trên thực tế như nghịch lý nổi tiếng của Zeno. Ở thời của Zeno thì các khái niệm trừu tượng như "vô hạn", "vô cùng lớn", "vô cùng bé" chưa xuất hiện. Do đó khi làm việc với những đại lượng vô hạn đã gây ra những hiểu lầm mà về mặt trực quan chúng ta lại thấy "có vẻ đúng". Euclid cho rằng "Một phần thì nhỏ hơn toàn bộ". Tuy nhiên lý thuyết tập hợp của Cantor đã chứng minh được một phần (của tập vô hạn) cũng bằng toàn bộ, thậm chí có nhiều kiểu vô hạn với "kích thước" lớn nhỏ khác nhau.
Trước thế kỉ 18, toán học được sử dụng làm công cụ chính để nghiên cứu các lĩnh vực khác, nhất là vật lí. Điều này phù hợp khi giải thích các hiện tượng quan sát được vào thời đó như mặt phẳng Euclid. Vấn đề là vật lí dựa trên nền tảng toán học, nhưng toán học lại dựa trên các quan sát hiện tượng vật lí. Đây là một vòng luẩn quẩn và chỉ cần sai sót nhỏ trong toán sẽ gây ra ảnh hưởng rất nghiêm trọng. Từ đó toán học cần phải đúng đắn từ nội tại.
Các nhà toán học thế kỉ 18, 19 như Cauchy, Hilbert, ... đã xây dựng lại toán học không dựa trên quan sát vật lí mà dựa trên các định nghĩa chặt chẽ. Trong series về định lí bất toàn, giáo sư Phạm Việt Hưng có nói các nhà toán học thời kì này tôn sùng và thần thánh hóa toán học quá mức. Điều này mình vừa đồng ý vừa không đồng ý với giáo sư. Rõ ràng việc các nhà toán học làm lúc đó là rất cần thiết để đảm bảo nội tại toán học thống nhất, không mâu thuẫn, và chặt chẽ. Việc họ tôn sùng quá mức cho thấy họ hiểu sự quan trọng của việc họ làm và rất nhiều những điều bị bác bỏ trước đó đã được đưa trở lại toán học. Từ đây mở ra rất nhiều khả năng phát triển, mở rộng tới những nơi chúng ta chưa thể thấy, sửa chữa những sai lầm của người đi trước. Bằng việc để trí tưởng tượng bay xa, kết hợp với logic chặt chẽ, đã giúp nhiều lĩnh vực đoán trước sự tồn tại của nhiều đối tượng trước cả khi phát hiện ra chúng.
Tuy nhiên quan niệm của mình về các nhà toán học thời kì đó có chút khác. Mình công nhận là những đóng góp của họ đã đưa tới sự phát triển đáng kinh ngạc trong nhiều lĩnh vực, nhưng bản thân mình thấy đó là công việc ... rất nhàm chán. Mục tiêu quan trọng nhất của họ là làm chặt chẽ và đảm bảo tính đúng đắn của toán học từ những khái niệm có thể gọi là cơ bản nhất làm nền tảng. Những khái niệm như điểm, đường, ... đã được định nghĩa từ rất lâu ở bộ sách huyền thoại Elements của Euclid [2], nhưng trong sách lại định nghĩa chung chung kiểu:
mặt là thứ có bề dài và có bề rộng;
đường là thứ chỉ có bề dài mà không có bề rộng;
điểm là thứ không có bề dài lẫn bề rộng.
Ở đây, "thứ" là gì? Nhiều hình thù kì quặc đã được xây dựng, vừa có thể được xem là đường mà cũng vừa có thể được xem là mặt theo định nghĩa của Euclid, ví dụ như tấm thảm Sierpinski. Rõ ràng những nhà toán học hiện đại đã làm công việc chán ngắt là định hình lại toán học nhân loại trong 2000 năm. Cộng 1 respect cho các nhà toán học chứ mình thấy là oải rồi. :>>>
Đối với mình, toán học là bộ môn của đam mê, logic, và cả toxic. =))) Các nhà toán học không quan tâm kết quả của mình có ứng dụng thực tiễn gì. Họ quan tâm tính đúng đắn của từng mệnh đề, từng chứng minh. Họ cố gắng bảo vệ niềm tin của mình đến nỗi dám đương đầu mọi thứ, thậm chí tử thần.
Ở thời Trung Cổ nơi những tòa án dị giáo đàn áp dã man các nhà khoa học ủng hộ thuyết nhật tâm của Copernicus, các nhà khoa học (đa phần là toán và thiên văn) thậm chí còn bác bỏ những điểm chưa đúng của Copernicus - cho rằng Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời - và bổ sung rằng bản thân Mặt Trời cũng quay quanh cái gì đó khác nữa. Cauchy tin tưởng cách xây dựng giới hạn dựa trên ngôn ngữ \(\delta-\varepsilon\) tới nỗi năm lần bảy lượt chơi trò "mèo vờn chuột" với định chế khoa học cao nhất nước Pháp là Viện Hàn lâm và Đại học Bách khoa (Ecole Polytechnique) [3]. Tất nhiên Cauchy đã có cuộc đời không dễ dàng gì và nhiều lần rơi vào tình cảnh khó khăn. Cantor tin tưởng lý thuyết tập hợp của mình là vững như đá tảng, nếu mũi tên nào bắn vào thì mũi tên sẽ bật ngược lại người bắn [3]. Tuy nhiên phe đối lập với Cantor có các nhà toán học vĩ đại Poincare và Kronecker với quan điểm bảo thủ luôn cố gắng vùi dập ý tưởng của ông. Về sau, những người ủng hộ ông như Hilbert, Dedekind, ... đã thắng thế, và lý thuyết tập hợp của Cantor đã được truyền bá rộng rãi. Đáng tiếc thay, Cantor đã ra đi mãi mãi trước đó do đột quỵ từ trầm cảm bởi sức ép từ phe Kronecker và nỗi đau mất người thân.
Kết luận¶
Các bạn thấy đó, bản thân toán học không hoàn hảo và thậm chí các nhà toán học nhiều lần xung đột với nhau về logic. Về mặt logic thì ai cũng đúng, nhưng éo le là người khác không chấp nhận bạn đúng và bác bỏ nó. :'( Lúc này, hệ thống định nghĩa là điều cực kì quan trọng và cần được thống nhất trên toàn thế giới, giữa các cộng đồng khoa học. Trong các công trình của mình thì hệ thống định nghĩa phải rõ ràng, thống nhất và không mâu thuẫn. Khi đó những kiến thức được xây dựng trên đó sẽ hợp lý về logic.
Toán học đã, đang và sẽ luôn là niềm đam mê của mình bất chấp khả năng có hạn. ^)^ Mình hy vọng notebook này sẽ lưu trữ đam mê tuổi trẻ của mình, và nếu trong khả năng có hạn, tiếp thêm sức mạnh cho những người theo đuổi toán học.
Moscow, ngày 23 tháng 02 năm 2025.