1.3. Hạng của ma trận¶
Định nghĩa 1.58 (Hạng của ma trận)
Cho ma trận \(\bm{A}_{m \times n}\). Hạng của ma trận là cấp của ma trận con lớn nhất có định thức khác \(0\).
Nghĩa là, một ma trận vuông mà là ma trận con (lấy một phần của ma trận ban đầu) kích thước \(r \times r\) mà có định thức khác \(0\) và \(r\) lớn nhất, thì hạng của ma trận khi đó là \(r\).
Nhận xét 1.14
Ma trận con kích thước \(r \times r\) là ma trận con của ma trận kích thước \(m \times n\) nên \(r \leqslant \min(m, n)\).
Ví dụ 1.28
Ma trận \(\bm{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\) có định thức \(\det(\bm{A}) = 0\).
Nhưng ma trận con của \(\bm{A}\) là \(\bm{B} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\) (lấy dòng 1 và 3, lấy cột 2 và 3) có định thức \(\det(\bm{B}) = 2 \neq 0\), do đó
với \(\text{rank} \ (\bm{A})\) nghĩa là hạng của \(\bm{A}\).