4. Tổ hợp tuyến tính

Xét tập hợp các vector \(\{\bm{v}_1, \bm{v}_2, \ldots, \bm{v}_d\}\) trên \(\mathbb{R}\).

Định nghĩa 4.5 (Tổ hợp tuyến tính)

Với vector \(\bm{x}\) bất kì thuộc \(\mathbb{R}\), nếu tồn tại các số thực \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., \(\alpha_d\) thuộc \(\mathbb{R}\) sao cho

\[\bm{x} = \alpha_1 \bm{v}_1 + \alpha_2 \bm{v}_2 + \ldots + \alpha_d \bm{v}_d\]

thì \(\bm{x}\) được gọi là tổ hợp tuyến tính (hay linear combination) của các vector \(\bm{v}_i\), \(i = 1, 2, \ldots, d\).

Ta thấy rằng vector không \(\bm{0}\) là tổ hợp tuyến tính của mọi tập các vector \(\bm{v}_i\) khi tất cả \(\alpha_i = 0\).

Bây giờ ta xét tổ hợp tuyến tính

\[\alpha_1 \bm{v}_1 + \alpha_2 \bm{v}_2 + \ldots + \alpha_d \bm{v}_d = \bm{0}.\]

Định nghĩa 4.6 (Độc lập tuyến tính)

Tập hợp các vector \(\bm{v}_1\), \(\bm{v}_2\), ..., \(\bm{v}_d\) được gọi là độc lập tuyến tính (hay linear independent) nếu chỉ có duy nhất trường hợp

\[\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_d = 0\]

thỏa tổ hợp tuyến tính trên.

Định nghĩa 4.7 (Phụ thuộc tuyến tính)

Tập các vector là phụ thuộc tuyến tính (hay linear dependent) nếu không độc lập tuyến tính. Nói cách khác tồn tại ít nhất một phần tử \(\alpha_i \neq 0\).