4.1. Vành

Định nghĩa 4.1 (Vành)

Cho tập hợp \(R\), trên đó ta định nghĩa hai toán tử cộng (kí hiệu là \(+\)) và nhân (kí hiêu là \(\times\)).

Khi đó, \((R, +, \times)\) tạo thành vành (hay ring, кольцо) nếu

  1. \((R, +)\) là nhóm Abel.

  2. \((R, \times)\) có tính kết hợp với phép nhân: với mọi \(a, b, c \in R\) thì \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\).

  3. Tính phân phối của phép cộng và phép nhân: với mọi \(a, b, c \in R\) thì \((a + b) \times c = a \times c + b \times c\).

Tóm lại, \((R, +, \times)\) là vành nếu nó là nhóm Abel đối với phép cộng và có tính kết hợp với phép nhân.

Ta thường kí hiệu \(0_R\) (hoặc ngắn gọn là \(0\)) là phần tử đơn vị của phép cộng \((R, +)\) và gọi là phần tử trung hòa.

Khi đó phần tử nghịch đảo của phép cộng gọi là phần tử đối và được kí hiệu là \(-a\), chỉ phần tử đối của phần tử \(a\).

Nhận xét 4.1

Phép nhân ở đây không nhất thiết có phần tử đơn vị, hay phần tử nghịch đảo như trong định nghĩa nhóm. Trong trường hợp này \((R, \times)\) gọi là semigroup (hay nửa nhóm).

Tính chất 4.1 (Tính chất của vành)

  1. Với mọi \(a \in R\) thì \(a \times 0_R = 0_R \times a = 0_R\).

  2. Với mọi \(a, b \in R\) thì \((-a) \times b = -(a \times b)\).

Chứng minh

Để chứng minh hai tính chất trên ta dùng định nghĩa vành.

  1. Với mọi \(a \in R\), ta có

\[a \times 0_R = a \times (0_R + 0_R) = a \times 0_R + a \times 0_R.\]

Rút gọn \(a \times 0_R\) hai vế ta có \(a \times 0_R = 0_R\). Tương tự cho \(0_R \times a = 0_R\).

  1. Vì \((-a) + a = 0_R\) với mọi \(a \in R\), nhân \(b\) hai vế và dùng tính chất đầu suy ra

\[(-a) \times b + a \times b = 0_R \times b = 0_R.\]

Chuyển vế ta có \((-a) \times b = - (a \times b)\).

Định nghĩa 4.2 (Vành với đơn vị)

Nếu có phần tử \(1_R \neq 0_R \in R\) sao cho với mọi \(r \in R\) ta đều có

\[1_R \times r = r \times 1_R = r\]

thì \(1_R\) được gọi là phần tử đơn vị đối với phép nhân và \(R\) được gọi là vành với đơn vị (hay ring with identity, кольцо с единицей).

Ta kí hiệu \(1_R\) (hoặc ngắn gọn là \(1\)) là phần tử đơn vị đối với phép nhân \((R, \times)\).

Từ phần tử đơn vị đối với phép nhân ta có khái niệm đặc số (hay số đặc trưng, characteristic) của vành với đơn vị.

Định nghĩa 4.3 (Characteristic)

Xét trường \(R\) với phần tử đơn vị là \(1\) và phần tử trung hòa là \(0\). Số dương \(p\) nhỏ nhất sao cho

\[\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1 + 1}_{p \text{ lần}} = 0\]

được gọi là đặc số (hay characteristic, характеристика) của \(R\).

Định nghĩa 4.4 (Vành giao hoán)

Nếu ta có tính giao hoán đối với phép nhân, nghĩa là với mọi \(a, b \in R\) đều thỏa

\[a \times b = b \times a,\]

thì ta nói \(R\) là vành giao hoán (hay commutative ring, коммутативное кольцо).