1.4. Hàm số

1.4.1. Hàm số

Khi hai tập nguồn và đích của ánh xạ là hai tập hợp số, ta có hàm số.

Ví dụ 1.5

Hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) với \(y = f(x) = x^3 + x + 1\). Ở đây \(f: X \to Y\) vói \(X \equiv \mathbb{R}\) và \(Y \equiv \mathbb{R}\).

Lưu ý rằng tập nguồn và đích không nhất thiết là tập hợp số cơ bản (\(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)) mà cũng có thể là tích Descartes của chúng.

Ví dụ 1.6

Hàm số \(f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) với \(z = f(x, y) = x + y + xy\). Ở đây \(f: X \times Y \to Z\) với \(X \equiv \mathbb{R}\), \(Y \equiv \mathbb{R}\) và \(Z \equiv \mathbb{R}\).

Ví dụ 1.7

Hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) cho bởi \(y = f(x) = x^3\) là song ánh.

Chứng minh

Ta thấy nếu \(f(x_1) = f(x_2)\), tương đương \(x_1^3 = x_2^3\) nên \(x_1 = x_2\). Do đó \(f\) là đơn ánh.

Với mọi \(y = x^3 \in \mathbb{R}\), do căn bậc ba luôn tồn tại nên ta có \(x = \sqrt[3]{y}\), nghĩa là luôn tồn tại \(x\) để \(f(x) = y\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\). Do đó \(f\) là toàn ánh.

Kết luận \(f\) là song ánh.

1.4.2. Đồng biến và nghịch biến

Định nghĩa 1.10 (Hàm số đồng biến)

Xét hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b) \subset \mathbb{R}\). Ta nói \(f(x)\) đồng biến (tăng) trên \((a; b)\) nếu với mọi \(x_1, x_2 \in (a; b)\) mà \(x_1 < x_2\) ta có \(f(x_1) < f(x_2)\).

Tương tự \(f(x)\) nghịch biến (giảm) trên \((a; b)\) nếu với mọi \(x_1, x_2 \in (a; b)\) mà \(x_1 < x_2\) ta có \(f(x_1) > f(x_2)\).

Lưu ý ở các so sánh trên dấu bằng có thể xảy ra. Khi đó hàm số được gọi là tăng không nghiêm ngặt (hoặc giảm không nghiêm ngặt).

Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng xác định nào đó thì ta nói hàm số đơn điệu trên khoảng đó.

Đồ thị của hàm số khi đồng biến sẽ đi lên (theo chiều từ trái sang phải), và đi xuống nếu nghịch biến.

Ví dụ 1.8

Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(f(x) = x^2 + 3\).

Để khảo sát sự biến thiên, một cách làm đơn giản theo định nghĩa là ta xét \(x_1 < x_2\) và so sánh \(f(x_1)\) với \(f(x_2)\).

Ta có

\[f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 + 3 - x_2^2 - 3 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2).\]

Do \(x_1 < x_2\), nên với \(x_1, x_2 > 0\) thì \(x_1 + x_2 > 0\) và \(x_1 - x_2 < 0\). Ta suy ra \(f(x_1) - f(x_2) < 0\) và từ đó \(f(x_1) < f(x_2)\). Như vậy \(f(x)\) đồng biến trên \((0; +\infty)\).

Tương tự, khi \(x_1, x_2 < 0\) thì \(x_1 + x_2 < 0\). Khi đó \(f(x_1) > f(x_2)\) nên \(f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty; 0)\).

Để thể hiện sự biến thiên của hàm số ta sử dụng bảng biến thiên.

Đối với hàm số \(y = x^2 + 3\) ở trên bảng biến thiên có dạng:

Hình 1.8 Bảng biến thiên hàm số \(y=x^2 + 3\)

Ta đã chứng minh được hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 0)\) và đồng biến trên \((0; +\infty)\), giá trị \(f(0) = 3\) nên bảng biến thiên thể hiện sự tăng giảm trên các khoảng. Dựa vào bảng biến thiên ta có thể hình dung ra dạng của đồ thị hàm số.

1.4.3. Đồ thị hàm số

Để biểu diễn sự phụ thuộc của biến \(y\) theo biến \(x\), hay nói cách khác là biểu diễn hàm số \(y = f(x)\), ta có thể dùng đồ thị.

Đồ thị được vẽ trên hệ tọa độ Descartes \(Oxy\). Bảng biến thiên cho ta thấy tính đơn điệu trên các khoảng xác định, và đồ thị sẽ cho ta thấy rõ hơn độ "cong" của những đường cong.

Ví dụ 1.9

Với hàm số \(y = x^2 + 3\) ở trên. Đồ thị hàm số có dạng như hình 1.9.

Với hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\). Ta thấy rằng hàm số không xác định tại \(x = 0\). Khảo sát sự biến thiên như bên trên ta thấy hàm số nghịch biến ở hai khoảng xác định là \((-\infty; 0)\) và \((0; +\infty)\). Đồ thị hàm số có dạng như hình 1.10.

Hình 1.9 Đồ thị hàm số \(y = x^2 + 3\)

Hình 1.10 Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\)

Từ đồ thị của hai hàm số trên ta thấy rằng mặc dù cùng là nghịch biến trên \((-\infty; 0)\) nhưng nghịch biến của \(y = x^2+3\) nhìn "nhẹ nhàng" hơn. Trong khi đồ thị \(y = \dfrac{1}{x}\) thì ban đầu "nhẹ nhàng", sau thì như "rơi tự do".

1.4.4. Một số loại hàm số

Một số hàm số có tính chất đặc biệt giúp chúng ta tiết kiệm công sức trong chứng minh, tính toán.

1.4.4.1. Hàm chẵn và hàm lẻ

Xét hàm số \(y = f(x)\) xác định trên miền \(D\) có tính đối xứng, nghĩa là với mỗi phần tử dương \(x \in D\) thì có phần tử đối \(-x \in D\) hoặc ngược lại. Khi đó

Định nghĩa 1.11 (Hàm số chẵn)

Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi \(x \in D\) ta có \(f(-x) = f(x)\).

Ví dụ như hàm số \(y = x^2 + 3\) ở trên là một hàm chẵn vì với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có

\[f(x) = x^2 + 3 = (-x)^2 + 3 = f(-x).\]

Dễ thấy rằng đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục tung. Dựa vào tính chất này, trong lúc khảo sát hoặc tính toán đôi khi ta chỉ cần quan tâm một bên trục tung, bên kia tương tự.

Định nghĩa 1.12 (Hàm số lẻ)

Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có \(f(-x) = -f(x)\).

Ví dụ như hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) ở trên là một hàm lẻ vì với mọi \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\) ta có

\[f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -f(x).\]

Dễ thấy rằng hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ \(O(0, 0)\).

1.4.4.2. Hàm cộng tính

Xét hàm số \(y = f(x)\) xác định trên miền \(D\).

Định nghĩa 1.13 (Hàm cộng tính)

Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là cộng tính nếu với mọi \(x, y \in D\) mà \(x + y \in D\), ta có \(f(x+y) = f(x) + f(y)\).

Ví dụ 1.10

Hàm số \(y = 2x\) trên \(\mathbb{R}\) là hàm cộng tính vì với mọi \(x, y \in \mathbb{R}\), ta có

\[f(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).\]

1.4.4.3. Hàm nhân tính

Tương tự hàm cộng tính, ta định nghĩa hàm nhân tính.

Định nghĩa 1.14 (Hàm nhân tính)

Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là nhân tính nếu với mọi \(x, y \in D\) ta có \(f(xy) = f(x) \cdot f(y)\).

Hàm nhân tính quan trọng được sử dụng trong số học là hàm \(\varphi\) Euler về số lượng các số nguyên tố cùng nhau với số nguyên dương \(n\). Nếu một hàm số học là nhân tính thì chúng ta chỉ cần quan tâm giá trị của hàm số đó tại các số nguyên tố là đủ.

1.4.4.4. Hàm tuần hoàn

Xét hàm số \(y = f(x)\) xác định trên miền \(D\).

Định nghĩa 1.15 (Hàm tuần hoàn)

Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số \(T\) sao cho \(f(x+T) = f(x)\) với mọi \(x \in D\).

Nói cách khác, hàm số sẽ lặp lại sau một đoạn nhất định.

Số \(T\) nhỏ nhất thỏa mãn \(f(x+T) = f(x)\) được gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn.

Vì sao số \(T\) cần là nhỏ nhất?

Ta thấy rằng, nếu \(f(x+T) = f(x)\) với mọi \(x \in D\), ta thay \(x\) bởi \(x + T\) thì thu được \(f(x + T + T) = f(x + T)\), hay \(f(x + 2T) = f(x + T)\). Như vậy ta suy ra \(f(x + 2T) = f(x + T) = f(x)\). Tiếp tục như vậy, sau \(2T\) hàm số cũng lặp lại đúng trạng thái đó với \(3T\), \(4T\), ... Do đó số \(T\) nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức \(f(x + T) = f(x)\) sẽ là chu kỳ.

Ví dụ 1.11

Hàm số \(y = \sin(x)\) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(T = 2\pi\). Do đó chúng ta chỉ cần khảo sát hàm số trong khoảng \((-\pi; \pi)\) thôi là đủ.