1.2. Ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1.54 (Ma trận nghịch đảo)

Ma trận \(\bm{A}^{-1}\) được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận vuông \(\bm{A}\) nếu

\[\bm{A}^{-1} \cdot \bm{A} = \bm{A} \cdot \bm{A}^{-1} = \bm{I},\]

trong đó \(\bm{I}\) là ma trận đơn vị cùng kích thước với \(\bm{A}\).

Công thức của ma trận nghịch đảo là

\[\begin{split}\bm{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\bm{A})}[(A_{ij})_n]^\top = \frac{1}{\det(\bm{A})} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix},\end{split}\]

trong đó, \(A_{ij}\) cũng được định nghĩa tương tự như khi tính định thức bằng khai triển theo dòng hoặc cột. Gọi \(\bm{M}_{ij}\) là ma trận có được từ ma trận \(\bm{A}\) khi bỏ đi hàng \(i\) và cột \(j\) của ma trận \(\bm{A}\) và kí hiệu \(A_{ij}=(-1)^{i+j} \det (\bm{M}_{ij})\).

Như vậy, điều kiện cần và đủ để một ma trận có nghịch đảo là định thức khác \(0\).