Internet Olympiad 2024

Vòng 2

Bài 2

Đề bài

Cho hai số tự nhiên \(x, y\) sao cho

\[A = \dfrac{2y}{x(y-x)}, B = \dfrac{(y-x)(y+1)}{2y^2} \in \mathbb{Z}.\]

Tìm \(x, y\).

Lời giải

Do \(A, B \in \mathbb{Z}\) nên

\[A \cdot B = \dfrac{2y}{x(y-x)} \cdot \dfrac{(y-x)(y+1)}{2y^2} = \dfrac{y+1}{xy} \in \mathbb{Z}\]

Suy ra tồn tại \(k \in \mathbb{Z}\) sao cho \(y + 1 = kxy\), tương đương với \(y(kx - 1) = 1\). Điều này chỉ xảy ra khi \(y = 1, x = 2\) (có một nghiệm khác là \(y = 1, x = 1\) nhưng sẽ không thỏa mẫu số của \(A\)).

Bài 8

Đề bài

Cho \(x, y\) là các số thực thỏa \(x^2 + y^2 + xy = x + y\). Tìm giá trị lớn nhất của \(x^2 + y^2\).

Lời giải

Thầy mình bảo đây là dạng bậc hai nên có thể biến đổi để thành phương trình ellipse. Ở đây mình giải theo cách của mình.

Ta có

\[\begin{split}x^2 + y^2 + xy &= x + y \\ 2x^2 + 2y^2 + 2xy &= 2x + 2y \\ x^2 + y^2 &= -(x+y)^2 + 2(x+y) = -t^2 + 2t = f(t)\end{split}\]

Ta có \(f'(t) = -2t + 2\), \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Do đó \(f(t)_{\max} = f(1) = 1\).

Bài 9

Đề bài

Xét đa thức \(P(x) = x^4 - 4x^2 - x + 1\). Tính \(\displaystyle{\sum_{i=1}^4 \dfrac{2x_i + 1}{(x_i^2 - 1)^2}}\) với \(x_i\) là các nghiệm của \(P(x)\).

Lời giải

Ta biến đổi

\[P(x) = x^4 - 4x^2 - x + 1 = (x^2-1)^2 - x(2x+1).\]

Do \(x_i\) là nghiệm nên \(P(x_i) = 0\), tương đương với \(\dfrac{1}{x_i} = \dfrac{2x_i+1}{(x_i^2-1)^2}\).

Tổng trên tương đương với \(\sum \dfrac{1}{x_i}\). Dùng Viete có thể tính ra.

Bài 10

Đề bài

Cho hàm số

\[f(x) = \frac{4x - 3}{(x+2)(x+2^2) \ldots (x+2^{2023})}\]

Gọi \(M\) là đạo hàm của \(f(x)\) tại \(x_0 = 0\). Tính giá trị \(2^{1013 \cdot 2023} \cdot M - 7 \cdot 2^{2023}\).

Lời giải

Đặt \(f(x) = \dfrac{4x-3}{g(x)}\) thì

\[f'(x) = \dfrac{4 g(x) - (4x - 3) g'(x)}{g^2(x)}.\]

Do

\[g(x) = \prod_{i=1}^{2023} (x + 2^i),\]

ta lấy log hai vế thì được

\[\ln g = \sum_{i=1}^{2023} \ln (x + 2^i)\]

Suy ra

\[\dfrac{g'}{g} = \sum_{i=1}^{2023} \dfrac{1}{x+2^i}\]

nên suy ra

\[g'(0) = g(0) \cdot \sum_{i=1}^{2023} \dfrac{1}{2^i}\]

Như vậy \(f'(0) = \dfrac{4 - 3 \sum_{i=1}^{2023} \dfrac{1}{2^i}}{\prod_{i=1}^{2023} 2^i} = M\).

Vòng siêu chung kết (Uzbekistan)

Bài 1

Đề bài

Một người đi bộ từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) tại thời điểm \(T\) với \(0 < T < 12\). Cùng lúc đó có một người đi bộ khác từ \(B\) đến \(A\). Hai người đi với cùng vận tốc và gặp nhau lúc \(12\) giờ nhưng không dừng lại mà tiếp tục đi. Người đầu tiên tới \(B\) lúc \(16\) giờ và người thứ hai tới \(A\) lúc \(21\) giờ. Tìm thời điểm \(T\).

Lời giải

Kết quả là \(6\).

Bài 2

Đề bài

Tâm của \(6\) đường tròn có cùng bán kính \(R\) nằm trên cùng đường thẳng nằm ngang. Khoảng cách giữa các tâm bằng nhau và diện tích vùng giao nhau cũng bằng nhau và bằng \(8\).

Giả sử \(A\) là điểm thấp nhất của đường tròn ngoài cùng bên trái và \(B\) là điểm cao nhất của đường tròn ngoài cùng bên phải. Diện tích phần giới hạn bởi đường thẳng \(AB\) và các đường tròn bằng \(40\). Tìm bán kính \(R\).

Lời giải

Đáp án là \(R = \dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{\pi}}\).

Bài 3

Chả hiểu đề nói gì @@@

Bài 4

Đề bài

Đặt

\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0\]

là đa thức có bậc lẻ với hệ số nguyên. Xét tập hợp các điểm của nó trên đồ thị với tọa độ là các số nguyên:

\[M = \{ P_i = (b_i, f(b_i)) : b_i \in \mathbb{Z} \}.\]

Chứng minh rằng tập hợp tất cả các cặp \((P_i, P_j) \in M\) với \(i \neq j\) thì khoảng cách giữa hai điểm đó là số nguyên và hữu hạn.

Giải

Đặt \(d(P, Q) \in \mathbb{Z}\) là khoảng cách giữa hai điểm \(P(a, f(a))\) và \(Q(b, f(b))\). Khi đó

\[d^2 = (b - a)^2 + (f(b) - f(a))^2\]

là số chính phương. Tuy nhiên

\[f(b) - f(a) = a_n(b^n - a^n) + a_{n-1} (b^{n-1} - a^{n-1}) + \ldots + a_1 (b - a) = (b - a) \cdot U.\]

Do đó

\[d^2 = (b-a)^2 + ((b-a) \cdot U)^2 = (b-a)^2(1 + U^2)\]

và \(1 + U^2\) cũng là số chính phương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(U^2 = 0\), hay \(f(b) = f(a)\). Đối với đa thức bậc lẻ thì luôn tồn tại số \(N\) sao cho với \(x \in (-\infty, N) \cup (N, +\infty)\) thì đa thức \(f(x)\) tăng nghiêm ngặt (khi \(a_n > 0\)) và giảm nghiêm ngặt (khi \(a_n < 0\)). Do đó trên khoảng \((-N, N)\) số lượng cặp \((P, Q)\) mà \(f(b) = f(a)\) là hữu hạn.

Bài 5

Đề bài

Cho ma trận vuông \(A\) bậc \(2025\) sao cho tổng mọi phần tử của \((E + A)^{-1}\), với \(E\) là ma trận đơn vị, bằng \(10\). Tính tổng mọi phần tử của ma trận \((E + A^{-1})^{-1}\).

Lời giải

Đáp án là \(2015\).

Bài 6

Đề bài

Hàm \(f(x)\) liên tục trên \([0, +\infty)\). Biết rằng mọi giá trị của hàm đó nằm trong đoạn \([0, 1]\) và với mọi \(x, y\) không âm đều thỏa \(f(x + y) \leqslant f(x) f(y)\). Chứng minh rằng với mọi \(x\) không âm ta đều có \(\int\limits_{0}^x f(u) \, du \geqslant x \sqrt{f(2x)}\).

Giải

Vì \(f(x) \in [0, 1]\), từ điều kiện \(f(x + y) \leqslant f(x) f(y)\) suy ra \(f(x + y) \leqslant f(x)\). Như vậy \(f(x)\) không tăng.

Do đó

\[\left(\int\limits_0^x f(u)\,du \right)^2 = \int\limits_0^x\int\limits_0^x f(u) f(t)\,du \ dt \geqslant \int\limits_0^x dt \int\limits_0^x f(u + t) \, du = \int\limits_0^x dt \int\limits_t^{x+t} f(s) \, ds.\]

Vì với mọi \(t \in [0, x]\) và \(s \in [t, x+t]\) ta có \(s \leqslant 2x\) nên \(f(s) \leqslant f(2x)\) và

\[\int\limits_0^x dt \int\limits_t^{x+t} f(s) \, ds \geqslant f(2x) \int\limits_0^xdt \int\limits_t^{x+t} ds = f(2x) \cdot x^2.\]

Kết quả là \(\int\limits_0^x f(u) \, du \geqslant x \sqrt{f(2x)}\).

Bài 7

Đề bài

Đặt \(A\) là tập hợp gồm các cặp \((x, y)\) sao cho \(x \in [0, 1)\) và \(y \in [0, 1)\), nghĩa là

\[A = \{ (x, y) : x \in [0, 1), y \in [0, 1) \}\]

Trên tập \(A\) xét hàm số

\[Q(x, y) = \sum_{\frac{1}{2} \leqslant \frac{m}{n} \leqslant 2, n, m \in \mathbb{N}} x^m y^n\]

với \(n, m\) là các số nguyên dương. Tìm giá trị của giới hạn

\[\begin{split}\lim_{\substack{(x, y) \to (1, 1) \\ (x, y) \in A}} \lvert (1 - xy^2) \cdot (1 - x^2y) \cdot Q(x, y) \rvert.\end{split}\]

Lời giải

Đáp án là \(3\).

Bài 8

Đề bài

Chứng minh rằng tổng

\[\frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \ldots + \frac{1}{3n + 1}\]

không phải số nguyên với mọi số tự nhiên \(n\).

Bài 9

Đề bài

Đặt \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) với \(n > 1\) là các số thuộc \([0, 1]\) và khác nhau đôi một.

Đặt \(A_k\) là trung bình của tất cả tích gồm \(k\) phần tử khác nhau.

Chứng minh rằng dãy \(A_k\) không tăng.

Bài 10

Đề bài

Trên mặt phẳng cho các điểm \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) không nằm cùng một đường thẳng. Với mọi \(1 \leqslant i, j, k \leqslant n\) và \(i \neq j\), ta định nghĩa \(\delta_{ijk}\) bằng \(1\) nếu điểm \(A_k\) nằm trên đường thẳng \(A_i A_j\), bằng \(0\) nếu ngược lại.

Chứng minh rằng hệ vector

\[\vec{v}_{ij} = (\delta_{ij1}, \delta_{ij2}, \ldots, \delta_{ijn}), \, 1 \leqslant i < j \leqslant n\]

sinh ra không gian \(\mathbb{R}^n\).