2.1. Giới thiệu về đa thức¶

Định nghĩa 2.1 (Đa thức một biến)

Đa thức theo một biến \(x\) là hàm số có dạng

\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0.\]

Các số \(a_i\) được gọi là hệ số (hay coefficient, коэффициент).

Hệ số bậc cao nhất là \(a_n\). Hệ số tự do là \(a_0\).

Biểu thức \(a_k x^k\) được gọi là hạng tử bậc \(k\). Hạng tử bậc cao nhất là \(a_n x^n\).

Nếu \(a_i \in \mathbb{R}\) thì ta nói \(P(x)\) là đa thức với hệ số thực.
Nếu \(a_i \in \mathbb{Q}\) thì ta nói \(P(x)\) là đa thức với hệ số hữu tỷ.
Nếu \(a_i \in \mathbb{Z}\) thì ta nói \(P(x)\) là đa thức với hệ số nguyên.

Định nghĩa 2.2 (Bậc của đa thức)

Nếu \(a_n \neq 0\) thì số tự nhiên \(n\) được gọi là bậc của đa thức (hay degree, степень) và ta kí hiệu \(\deg P = n\).

2.2. So sánh, cộng, trừ và nhân hai đa thức¶

Hai đa thức

\[P(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_1 x + a_0\]

và

\[Q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_1 x + b_0\]

bằng nhau khi và chỉ khi \(m = n\), và \(a_k = b_k\) với mọi \(k = 0, 1, \ldots, m\).

Khi cộng và trừ hai đa thức \(P(x)\) và \(Q(x)\) ta thực hiện theo từng hệ số của \(x^k\), nghĩa là

\[P(x) \pm Q(x) = \sum_{k=0}^{\max(m, n)} (a_k \pm b_k) \ x^k.\]

Ví dụ 2.1

Xét hai đa thức

\[\begin{split}P(x) & = x^3 - 4 x^2 - 5 x + 3, \\ Q(x) & = x^4 - 3 x^3 + 5 x^2 - x - 1.\end{split}\]

Lúc này hệ số của hai đa thức \(P(x)\) và \(Q(x)\) là

\[\begin{split}a_4 = 0, a_3 = 1, a_2 = -4, a_1 = -5, a_0 = 3, \\ b_4 = 1, b_3 = -3, b_2 = 5, b_1 = -1, b_0 = -1.\end{split}\]

Như vậy ta có tổng và hiệu

\[\begin{split}P(x) + Q(x) & = (0 + 1) \cdot x^4 + [1 + (-3)] \cdot x^3 + (-4 + 5) \cdot x^2 + [-5 + (-1)] \cdot x + [3 + (-1)] \\ & = x^4 - 2 x^3 + x^2 - 6x + 2. \\ P(x) - Q(x) & = (0 - 1) \cdot x^4 + [1 - (-3)] \cdot x^3 + (-4 - 5) \cdot x^2 + [-5 - (-1)] \cdot x + [3 - (-1)] \\ & = -x^4 + 4x^3 - 9x^2 - 4x + 4.\end{split}\]

Khi nhân hai đa thức \(P(x)\) và \(Q(x)\) ta nhận được đa thức bậc \(m+n\) là

\[R(x) = \sum_{k=0}^{m+n} c_k x^k\]

với hệ số \(c_k\) được xác định bởi

\[c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}.\]

Nhận xét 2.1

Nếu đa thức \(P(x)\) nhận mọi giá trị \(x \in \mathbb{R}\) làm nghiệm thì \(P(x) \equiv 0\).

Định lí 2.1 (Bậc của tổng, hiệu và tích của các đa thức)

Cho \(P(x)\) và \(Q(x)\) là các đa thức bậc \(m\) và \(n\) tương ứng. Khi đó

\(\deg (P \pm Q) \leqslant \max(m, n)\), trong đó
- Nếu \(\deg P \neq \deg Q\) thì dấu bằng xảy ra.
- Nếu \(\deg P = \deg Q\), hay \(m = n\), thì \(\deg(P \pm Q)\) có thể nhận bất kì giá trị nào nhỏ hơn hoặc bằng \(m\).
\(\deg (P \cdot Q) = m + n\).

Ví dụ 2.2

Xét đa thức \(P(x) = -x + 1\) và \(Q(x) = x + 1\). Khi đó

\[\deg P = 1, \quad \deg Q = 1\]

và

\[P(x) + Q(x) = 2, \quad P(x) - Q(x) = -2x.\]

Như vậy

\[ \begin{align}\begin{aligned}\deg (P+Q) = 0 < \max(\deg P, \deg Q),\\\deg (P-Q) = 1 = \max(\deg P, \deg Q).\end{aligned}\end{align} \]