1.1. Theo dòng lịch sử¶
Hình học xuất hiện từ thời xa xưa, xuất phát từ những nhu cầu thực tế nhất của con người là đo đạc để phân chia đất đai, xây dựng, canh tác, ... Từ đó con người đã có nhận thức rất sớm về quan hệ song song và vuông góc giữa hai đường thẳng.
Một cách hình ảnh (mà thật ra hình học là môn học về hình ảnh) thì hai đường thẳng song song không cắt nhau dù có kéo dài chúng ra vô tận. Các đường thẳng song song luôn có nhiều điều thú vị, cả ở mặt phẳng Euclid lẫn trong không gian. Đầu tiên phải kể đến định lý mang tên triết gia vĩ đại của Hy Lạp: Thales.
1.1.1. Thales của Miletus¶
Thales của Miletus được cho rằng sinh vào khoảng năm 624 Trước Công nguyên (TCN) và mất năm 547 TCN tại Miletus (Thổ Nhĩ Kì ngày nay) [1].
Hình 1.13 Thales của Miletus¶
Ông được xem là nhà triết học đầu tiên khi không cố gắng giải thích tự nhiên bằng thần thoại hay các thế lực siêu nhiên như trước. Trường phái triết học do ông sáng lập, trường phái Milet, cho rằng mọi vật có nguồn gốc từ nước. Nhà triết học nổi tiếng Aristotle đánh giá rằng Thales là người sáng lập ra triết học duy vật sơ khai.
Trong toán học, Thales được biết tới với định lý mang tên ông về các đường song song. Định lý Thales được phát biểu như sau:
Định lí 1.3 (Định lý Thales)
Trong một tam giác, đường thẳng song song với một cạnh chắn trên hai cạnh còn lại các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hình 1.14 Định lý Thales trên mặt phẳng¶
Theo định lý Thales, nếu $EF$ song song với $BC$ thì ta có $dfrac{AE}{AB} = dfrac{AF}{AC} = dfrac{EF}{BC}$ ({numref}`thales1`).
Không dừng lại ở mặt phẳng, khi mở rộng lên không gian định lý Thales cũng cho chúng ta một kết quả quan trọng khi nói tới các mặt phẳng song song nhau.
Định lí 1.4 (Định lý Thales trong không gian)
Trong khối chóp, mặt phẳng song song mặt đáy chắn các cạnh nối từ đỉnh hình chóp tới các đỉnh của mặt phẳng đáy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hình 1.15 Định lý Thales trong không gian¶
Theo định lý Thales, nếu mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng $(A'B'C'D')$ thì $dfrac{SA}{SA'} = dfrac{SB}{SB'} = dfrac{SC}{SC'} = dfrac{SD}{SD'}$ ({numref}`thales2`).
1.1.2. Pythagoras của Samos¶
Khi nhắc tới vuông góc, chúng ta thường nhớ tới định lý ngày nào được học ở thời học sinh: định lý Pythagoras. Định lý này nói về quan hệ giữa độ dài các cạnh trong một tam giác vuông. Định lý tuy đơn giản nhưng có ý nghĩa rất quan trọng trong đời sống và khoa học của con người suốt chiều dài lịch sử. Đây cũng là tiền đề cho định lý mang tính lịch sử của nhân loại: định lý cuối cùng của Fermat.
Hình 1.16 Pythagoras của Samos¶
Pythagoras của Samos cũng là nhà triết học Hy Lạp cổ, được cho rằng sinh vào khoảng năm 570 TCN và mất năm 490 TCN [2].
Ông được học tập từ nhà triết học Thales và cũng có nhiều đóng góp cho sự phát triển của toán học, thiên văn học và âm nhạc. Tuy nhiên khác với thầy mình, trường phái triết học của ông cho rằng những con số là nguồn gốc của vạn vật và sử dụng những con số để giải thích những hiện tượng khoa học. Từ đây, các lý thuyết về âm nhạc được ra đời, cụ thể là các mối liên hệ về tần số với sự rung của dây nhạc cụ.
Ông là một trong những người hiếm hoi cho phép cả phụ nữ đi học ở lớp của mình vào thời ấy. Điều đó giúp phổ biến toán học nói riêng và kiến thức nói chung tới nhiều tầng lớp nhân dân. Tuy nhiên ông cũng có một hội kín rất thú vị. Như đã nói ở trên, trường phái triết học Pythagoras cố gắng giải thích nguồn gốc vạn vật bằng những con số. Điều này đã dẫn họ tới những khám phá động trời vào thời ấy.
Một trong những khám phá đó là về sự tồn tại của số vô tỉ dựa vào định lý mang tên ông. Lịch sử đã chỉ ra rằng trước Pythagoras, người Babylon và Ai Cập đã tìm ra rất nhiều bộ số nguyên $(a, b, c)$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = c^2$ là độ dài ba cạnh tam giác vuông. Định lý Pythagoras mà ngày nay chúng ta biết được phát biểu rằng:
Định lí 1.5 (Định lý Pythagoras)
Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
Như vậy nếu gọi độ dài cạnh huyền là \(c\), độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(a\) và \(b\) thì $a^2 + b^2 = c^2$ ({numref}`pythagoras1`).
Hình 1.17 Định lý Pythagoras¶
Nếu \(a = b = 1\) thì sao? Khi đó bình phương độ dài cạnh huyền $c^2 = 2$. Tuy nhiên không thể tìm ra một số hữu tỉ nào để bình phương lên là 2 cả. Phát hiện này là một chấn động đối với thời Pythagoras và ông yêu cầu tất cả thành viên trong hội phải giữ kín bí mật về sự phát hiện này. Tuy nhiên thông tin vẫn lọt ra ngoài và truyền thuyết kể rằng ông đã xử tội chết cho thành viên của hội không tuân thủ.
Pythagoras đã đưa một khái niệm cực kì quan trọng trong toán học, gọi là chứng minh (hay proof, доказательство). Để chứng minh một mệnh đề là đúng, chúng ta cần các mệnh đề (thường đơn giản hơn) đúng trước đó. Bằng các phép suy luận thích hợp dựa trên các mệnh đề đúng trước đó, chúng ta có thể kết luận rằng mệnh đề cần chứng minh là đúng. Phép chứng minh có thể gọi là "xương sống" của toán học, vì nếu không có một phép chứng minh đúng đắn thì một mệnh đề không thể được xác định được là có đúng hay không. Trong trường hợp của Fermat, khi ông đưa ra định lý Fermat nhưng không kèm chứng minh (vì lề sách quá chật nên không viết lời giải được) thì chúng ta không thể biết định lý Fermat có đúng hay không (?).
Nếu việc suy luận dựa trên các mệnh đề, hoặc định lý, đã đúng trước đó, thì phải có một lúc nào đó việc này dừng lại. Chúng ta không thể suy ngược tới vô hạn lần được. Do đó chúng ta cần những mệnh đề luôn đúng nhưng tính đúng đắn của nó được kiểm nghiệm trong thực tiễn. Chúng được gọi là tiên đề (hay axiom, аксиома). Nhân vật tiếp theo được đề cập tới sẽ dẫn chúng ta tới hệ thống tiên đề làm nền tảng cho hình học.
1.1.3. Euclid của Alexandria¶
Đúng vậy, Euclid là người đặt nền móng cho hình học với bộ sách nổi tiếng Elements của mình. Trong bộ sách này đề cập tới những tiên đề, định lý làm nền tảng cho bộ môn hình học và vẫn còn ý nghĩa cho tới tận ngày nay. Những gì viết trong đó không quá xa lạ với những gì được giảng dạy trong nhà trường.
Hình 1.18 Euclid của Alexandria¶
Euclid của Alexandria sinh vào khoảng năm 325 TCN và mất vào khoảng năm 265 TCN [3]. Thông tin về ông không có nhiều. Nhưng chỉ mỗi bộ sách Elements cũng đủ để người đời sau cho rằng ông là người có ảnh hưởng nhất trong 2000 năm lịch sử phát triển của toán học.
Năm tiên đề cơ bản của hình học được ông phát biểu trong bộ Elements được phát biểu như sau:
Qua hai điểm bất kì luôn vẽ được một đường thẳng
Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn về cả hai phía
Ta có thể xác định một đường tròn bằng tâm và bán kính của nó
Mọi góc vuông đều bằng nhau
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khiến tổng hai góc trong cùng phía nhỏ hơn hai vuông thì hai đường thẳng đó chắc chắn sẽ cắt nhau tại một điểm nào đó
Tiên đề số 5 là rắc rối và phức tạp nhất. Nó không thực sự tự nhiên và có nhiều sự vướng mắc. Đây chính là tiên đề cho sự ra đời của hình học phi-Euclid hơn 1500 năm sau.
Bộ Elements của Euclid bao gồm 13 quyển. Trong đó đề cập tới rất nhiều vấn đề của hình học, từ những phần tử đơn giản nhất cấu tạo nên hình học là điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tới những hình học lớn hơn như hình chữ nhật, hình tròn, đa giác, mặt phẳng. Thậm chí ông cũng đã có những dấu chân ở hình học không gian như hình chóp, hình cầu, hình nón ([2], [9]).