Abstract Algebra: Theory and Applications

Lời giải cho quyển sách Abstract Algebra: Theory and Applications của Thomas W. Judson [7].

Chương 3. Groups

Exercise (Bài 7)

Đặt \(S = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) và định nghĩa toán tử hai ngôi trên \(S\) là \(a \star b = a + b + ab\). Chứng minh rằng \((S, \star)\) là nhóm Abel.

Để chứng minh \((S, \star)\) là nhóm ta chứng minh ba tiên đề của nhóm.

  1. Giả sử tồn tại phần tử đơn vị \(e\), khi đó \(e \star s = s \star e = s\) với mọi \(s \in S\). Nghĩa là \(e + s + es = s + e + se = s\). Vậy \(e + se = 0\) mà \(s \neq -1\) nên \(e = 0\)

  2. Với \(e = 0\), giả sử với mọi \(s \in S\) có nghịch đảo \(s'\). Do \(s \star s' = s' \star s = e\) nên \(s + s' + ss' = s' + s + s's = e = 0\), tức là \(s'(1 + s) = -s\). Vậy \(s' = \dfrac{-s}{1 + s}\)

  3. Với mọi \(a, b, c \in S\),

    \[\begin{split}a \star (b \star c) & = a \star (b + c + bc) = a + (b+c+bc) + a (b+c+bc) \\ & = a + b + c + ab + bc + ca + abc\end{split}\]

    và

    \[\begin{split}(a \star b) \star c & = (a + b + ab) \star c = a + b + ab + c + c(a+b+bc) \\ & = a + b + c + ab + bc + ca + abc.\end{split}\]

Như vậy \(a \star (b \star c) = (a \star b) \star c\), do đó \(\star\) có tính kết hợp.

Vậy \((S, \star)\) là nhóm.

Exercise (Bài 39)

Gọi \(G\) là tập các ma trận \(2 \times 2\) với dạng

\[\begin{split}\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\end{split}\]

với \(\theta \in \mathbb{R}\). Chứng minh rằng \(G\) là subgroup của \(SL_2 (\mathbb{R})\).

Với \(\theta_1, \theta_2 \in \mathbb{R}\), ta có

\[\begin{split}& \begin{pmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix} \\ = & \ \begin{pmatrix} \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2 & -\cos \theta_1 \sin \theta_2 - \sin \theta_1 \cos \theta_2 \\ \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2 & -\sin \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cos \theta_2 \end{pmatrix} \\ = & \ \begin{pmatrix} \cos (\theta_1 + \theta_2) & -\sin (\theta_1 + \theta_2) \\ \sin (\theta_1 + \theta_2) & \cos (\theta_1 + \theta_2) \end{pmatrix},\end{split}\]

suy ra định thức của tích hai ma trận là

\[\begin{split}\det \left(\begin{pmatrix} \cos (\theta_1 + \theta_2) & -\sin (\theta_1 + \theta_2) \\ \sin (\theta_1 + \theta_2) & \cos (\theta_1 + \theta_2) \end{pmatrix}\right) = & 1 \cdot 1 = 1.\end{split}\]

Như vậy phép nhân hai ma trận có dạng trên đóng trên \(SL_2 (\mathbb{R})\).

Phần tử đơn vị là \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) tương ứng với \(\theta = 0\).

Phần tử nghịch đảo là \(\begin{pmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{pmatrix}\) suy ra từ công thức định thức ban nãy.

Cuối cùng, phép nhân ma trận có tính kết hợp. Như vậy \(G\) là subgroup của \(SL_2 (\mathbb{R})\).

Exercise (Bài 47)

Đặt \(G\) là nhóm và \(g \in G\). Chứng minh rằng

\[Z(G) = \{ x \in G: gx = xg \; \forall \; g \in G \}\]

là subgroup của \(G\). Subgroup này gọi là center của \(G\).

Giả sử trong \(G\) có hai phần tử là \(x_1\) và \(x_2\) thuộc \(Z(G)\). Khi đó

\[x_1 g = g x_1 \text{ và } x_2 g = g x_2 \text{ với mọi } g \in G.\]

Xét phần tử \(x_1 x_2\), ta có

\[(x_1 x_2) g = x_1 (x_2 g) = x_1 (g x_2) = (g x_1) x_2 = g (x_1 x_2)\]

với mọi \(g \in G\). Do đó \(x_1 x_2 \in Z(G)\) nên \(Z(G)\) là subgroup.

Exercise (Bài 49)

Cho ví dụ về nhóm vô hạn mà mọi nhóm con không tầm thường của nó đều vô hạn.

Ví dụ tập \(\mathbb{Z}\) và phép cộng số nguyên. Khi đó mọi nhóm con của \(\mathbb{Z}\) có dạng \(n\mathbb{Z}\) với \(n \in \mathbb{Z}\). Ví dụ

  • \(2\mathbb{Z} = \{\cdots, -4, -2, 0, 2, 4, \cdots\}\) với phần tử sinh là \(2\);

  • \(n\mathbb{Z} = \{\cdots, -2n, -n, 0, n, 2n, \cdots\}\) với phần tử sinh là \(n\).

Exercise (Bài 54)

Cho \(H\) là subgroup của \(G\) và

\[C(H) = \{g \in G: gh = hg \; \forall \; h \in H\}.\]

Chứng minh rằng \(C(H)\) là subgroup của \(G\). Subgroup này được gọi là centralizer của \(H\) trong \(G\).

Gọi \(g_1\) và \(g_2\) thuộc \(C(H)\). Khi đó \(g_1 h = h g_1\) và \(g_2 h = h g_2\) với mọi \(h \in H\).

Xét phần tử \(g_1 g_2\), với mọi \(h \in H\) ta có

\[(g_1 g_2) h = g_1 (g_2 h) = g_1 (h g_2) = (g_1 h) g_2 = (h g_1) g_2 = h (g_1 g_2).\]

Như vậy \(g_1 g_2 \in C(H)\), từ đó \(C(H)\) là subgroup của \(G\)

Chương 5. Permutation Groups

Exercise (Bài 13)

Đặt \(\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n\) là tích của các cycle độc lập. Chứng minh rằng order của \(\sigma\) là LCM của độ dài các cycle \(\sigma_1, \cdots, \sigma_m\).

Đặt \(l_i\) là độ dài cycle \(\sigma_i\) (\(i = 1, \cdots m\)). Khi đó \(\sigma_i^{k_i l_i}\) sẽ ở dạng các cycle độ dài \(1\) (\(k_i \in \mathbb{Z}\)).

Từ đó, \(\sigma^l = \sigma_1^l \cdots \sigma_m^l = (1)\cdots(n)\) nếu \(l = k_1 l_1 = \cdots k_m l_m\). Số \(l\) nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này là \(\text{lcm} (l_1, \cdots, l_m)\) (đpcm).

Exercise (Bài 23)

Nếu \(\sigma\) là chu trình với độ dài lẻ, chứng minh rằng \(\sigma^2\) cũng là chu trình.

Giả sử \(\sigma = (g_1, g_2, \cdots, g_{n-1}, g_n)\) với \(n\) lẻ.

Khi đó

\[\sigma^2 = (g_1, g_3, \cdots, g_n, g_2, g_4, \cdots, g_{n-1})\]

cũng là chu trình.

Exercise (Bài 30)

Cho \(\tau = (a_1, a_2, \cdots, a_k)\) là chu trình độ dài \(k\).

  1. Chứng minh rằng với mọi hoán vị \(\sigma\) thì

\[\sigma \tau \sigma^{-1} = (\sigma(a_1), \sigma(a_2), \cdots, \sigma(a_k))\]

là chu trình độ dài \(k\).

  1. Gọi \(\mu\) là chu trình độ dài \(k\). Chứng minh rằng tồn tại hoán vị \(\sigma\) sao cho \(\sigma \tau \sigma^{-1} = \mu\).

Để chứng minh hai mệnh đề trên ta cần chú ý một số điều.

  1. Ta thấy rằng bất kì phần tử nào khác \(a_1, a_2, \cdots, a_k\) thì khi qua \(\tau\) không đổi, do đó khi đi qua \(\sigma \tau \sigma^{-1}\) thì chỉ đi qua \(\sigma \sigma^{-1}\) và cũng không đổi. Nói cách khác các phần tử \(a_1, a_2, \cdots, a_k\) vẫn nằm trong chu trình nên ta có đpcm.

  2. Từ câu (a), với \(\mu = (b_1, b_2, \cdots, b_k)\) thì ta chọn \(\sigma\) sao cho \(b_i = \sigma(a_i)\).

Chương 6. Cosets

Exercise (Bài 11)

Gọi \(H\) là subgroup của nhóm \(G\) và giả sử \(g_1, g_2 \in G\). Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương:

  1. \(g_1 H = g_2 H\)

  2. \(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\)

  3. \(g_1 H \subseteq g_2 H\)

  4. \(g_2 \in g_1 H\)

  5. \(g_1^{-1} g_2 \in H\)

Từ (1) ra (2): Ta đã biết các coset là rời nhau hoặc trùng nhau, do đó với mọi \(g_1 h \in g_1 H\), tồn tại \(g_2 h' \in g_2 H\) mà \(g_1 h = g_2 h'\), suy ra \((g_1 h)^{-1} = (g_2 h')^{-1}\) hay \(h^{-1} g_1^{-1} = h'^{_1} g_2^{-1}\) (đpcm).

Từ (1) ra (3): Hiển nhiên.

Từ (1) ra (4): Với mọi \(g_1 h \in g_1 H\), tồn tại \(g_2 h' \in g_2 H\) sao cho \(g_1 h = g_2 h'\), hay \(g_2 = g_1 h h'^{-1}\), đặt \(h'' = h h'^{-1}\) thì \(h'' \in H\) (\(H\) là nhóm con) nên \(g_1 h'' \in g_1 H\), suy ra \(g_2 \in g_1 H\).

Từ (1) ra (5): Tương tự, ta có \(g_1 h = g_2 h'\), suy ra \(h h'^{-1}= g_1^{-1} g_2 \in H\).

Exercise (Bài 16)

Nếu \(g h g^{-1} \in H\) với mọi \(g \in G\) và \(h \in H\), chứng minh rằng right coset trùng với left coset.

Do \(g h g^{-1} \in H\) nên tồn tại \(h' \in H\) sao cho \(g h g^{-1} = h'\). Tương đương \(g h = h' g\) với mọi \(h \in H\) nên \(g H = H g\). Điều này đúng với mọi \(g \in G\) nên các right coset trùng left coset.

Exercise (Bài 17)

Giả sử \([G:H]=2\). Chứng minh rằng nếu \(a, b\) không thuộc \(H\) thì \(ab \in H\).

Ta biết rằng 2 coset ứng với 2 phần tử \(g_1, g_2\) bất kì là trùng nhau hoặc rời nhau.

Do đó với \(eH = H\), ta suy ra 2 coset của \(G\) là \(H\) và \(G \setminus H\).

Vì \(a, b \not\in H\) nên coset của chúng trùng nhau. Và nghịch đảo của \(a\) cũng nằm trong \(G \setminus H\) vì nếu nghịch đảo của \(a\) nằm trong \(H\) thì \(a\) cũng phải nằm trong \(H\).

Từ đó suy ra \(a^{-1} H = b H\), nghĩa là tồn tại hai phần tử \(h_1, h_2 \in H\) sao cho \(a^{-1} h_1 = b h_2\), tương đương \(h_1 h_2^{-1} = a b \in H\) (đpcm).

Exercise (Bài 21)

Gọi \(G\) là cyclic group với order \(n\). Chứng minh rằng có đúng \(\phi(n)\) phần tử sinh của \(G\).

Gọi \(g\) là một phần tử sinh của \(G\). Khi đó \(g\) sinh ra tất cả phần tử trong \(G\), hay nói cách khác các phần tử trong \(G\) có dạng \(g^i\) với \(0 \leq i < n\).

Như vậy một phần tử \(h = g^i\) cũng là phần tử sinh của \(G\) khi và chỉ khi \(\gcd(i, n) = 1\) và có \(\phi(n)\) số \(i\) như vậy (đpcm).

Chương 9. Isomorphism

Exercise (Bài 18)

Chứng minh rằng subgroup của \(\mathbb{Q}^*\) gồm các phần tử có dạng \(2^m 3^n\) với \(m, n \in \mathbb{Z}\) là internal direct product tới \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)

Xét ánh xạ \(\varphi: \mathbb{Q}^* \rightarrow \mathbb{Z~} \times \mathbb{Z}\), \(\varphi(2^m 3^n) = (m, n)\).

Hàm này là well-defined vì với \(m\) cố định thì mỗi phần tử \(2^m 3^n\) chỉ cho ra một phần tử \((m, n)\). Tương tự với cố định \(n\).

Hàm này là đơn ánh (one-to-one) vì với \(m_1 = m_2\) và \(n_1 = n_2\) thì \(2^{m_1} 3^{n_1} = 2^{m_2} 3^{n_2}\).

Hàm này cũng là toàn ánh vì với mỗi cặp \((m, n)\) ta đều tính được \(2^m 3^n\).

Vậy hàm \(\varphi\) là song ánh.

Thêm nữa,

\[\begin{split}\varphi(2^{m_1} 3^{n_1} \cdot 2^{m_2} 3^{n_2})& = \varphi(2^{m_1 + m_2} 3^{n_1 + n_2}) \\ & = (m_1 + m_2, n_1 + n_2) = (m_1, n_1) + (m_2, n_2) \\ & = \varphi(2^{m_1} 3^{n_1}) \varphi(2^{m_2} 3^{n_2}).\end{split}\]

Vậy \(\varphi\) là homomorphism, và là song ánh nên là isomorphism.

Exercise (Bài 20)

Chứng minh hoặc bác bỏ: mọi nhóm Abel có order chia hết bởi \(3\) chứa một subgroup có order là \(3\).

Gọi order của nhóm Abel là \(n = 3k\), và \(g\) là phần tử sinh của nhóm Abel đó. Như vậy \(g^n = g^{3k} = e\).

Nếu ta chọn \(h = g^k\) thì \(h^3 = e\), khi đó subgroup được sinh bởi \(h\) có order \(3\) (đpcm).

Exercise (Bài 21)

Chứng minh hoặc bác bỏ: mọi nhóm không phải Abel có order chia hết bởi \(6\) chứa một subgroup có order \(6\).

Với \(\mathcal{S}_3\) có order là \(6\) nhưng không có nhóm con nào order \(6\) (nhóm con chỉ có order \(1\), \(2\) hoặc \(3\)) (bác bỏ).

Exercise (Bài 22)

Gọi \(G\) là group với order \(20\). Nếu \(G\) có các subgroup \(H\) và \(K\) với order \(4\) và \(5\) mà \(hk = kh\) với mọi \(h \in H\) và \(k \in K\), chứng minh rằng

Ta chứng minh \(H \cap K = \{ e \}\). Giả sử tồn tại phần tử \(m \in H \cap K\), khi đó do \(m \in H\) nên \(mk = km\) với mọi \(k \in K\). Tuy nhiên \(m \in K\) do đó điều này xảy ra khi và chỉ khi \(m = e\).

Như vậy \(H \cap K = \{ e \}\).

Chương 11. Homomorphism

Exercise (Bài 1)

Chứng minh rằng

\[\det(AB) = \det(A) \det(B)\]

với \(A, B \in GL_2(\mathbb{R})\). Điều này chứng tỏ rằng định thức là homomorphism từ \(GL_2(\mathbb{R})\) tới \(\mathbb{R}^*\).

Đặt \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\) và \(B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\). Khi đó

\[\begin{split}A B = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{pmatrix}\end{split}\]

Như vậy ta có

\[\begin{split}\det (AB) = & (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21}) (a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}) \\ - & (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}) (a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) \\ = & \cancel{a_{11} a_{21} b_{11} b_{12}} + a_{11} a_{22} b_{11} b_{22} + a_{12} a_{21} b_{12} b_{21} + \bcancel{a_{12} a_{22} b_{21} b_{22}} \\ - & \cancel{a_{11} a_{21} b_{11} b_{12}} - a_{11} a_{22} b_{12} b_{21} - a_{12} a_{21} b_{11} b_{22} - \bcancel{a_{12} a_{22} b_{21} b_{22}}.\end{split}\]

Tương tự,

\[\begin{split}\det (A) \det (B) = & (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) (b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21}) \\ = & a_{11} a_{22} b_{11} b_{22} - a_{11} a_{22} b_{12} b_{21} \\ - & a_{12} a_{21} b_{11} b_{22} + a_{12} a_{21} b_{12} b_{21}.\end{split}\]

Như vậy \(\det (AB) = \det (A) \det (B)\) và do đó ánh xạ \(\det\) từ \(GL_2(\mathbb{R})\) tới \(\mathbb{R}^*\) là homomorphism.

Exercise (Bài 4)

Xét \(\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) cho bởi \(\phi(n) = 7n\). Chứng minh rằng \(\phi\) là homomorphism. Tìm hạt nhân và ảnh của \(\phi\).

Ta có

\[\phi(a+b) = 7(a+b) = 7a + 7b = \phi(a) + \phi(b)\]

với mọi \(a, b \in \mathbb{Z}\). Do đó \(\phi\) là homomorphism.

Hạt nhân của \(\phi\) là tập hợp các số \(n\) để \(\phi(n) = 0\), hay \(7 n = 0\). Như vậy \(n=0\) nên \(\ker \phi = \{ 0 \}\).

Ảnh của \(\phi\) là tập \(\{ \ldots, -2 \cdot 7, -7, 0, 7, 2 \cdot 7, \ldots \}\).

Exercise (Bài 8)

Nếu \(G\) là nhóm Abel và \(n \in \mathbb{N}\), chứng minh rằng \(\phi : G \to G\) xác định bởi \(g \mapsto g^n\) là homomorphism.

Với mọi \(g, h \in G\) thì \(\phi(gh) = (gh)^n\). Do \(G\) là nhóm Abel nên ta có \((gh)^n = g^n h^n = \phi(g) \phi(h)\). Như vậy \(\phi\) là đồng cấu nhóm.

Exercise (Bài 9)

Nếu \(\phi : G \to H\) là homomorphism và \(G\) là nhóm Abel, chứng minh rằng \(\phi(G)\) cũng là nhóm Abel.

Với mọi \(g, h \in G\), do \(\phi\) là homomorphism nên \(\phi(gh) = \phi(g) \phi(h)\). Do \(G\) là nhóm Abel nên \(gh = hg\) với mọi \(g, h \in G\), suy ra \(\phi(gh) = \phi(hg)\). Tương đương với \(\phi(g) \phi(h) = \phi(h) \phi(g)\) nên \(\phi(G)\) cũng là nhóm Abel.

Exercise (Bài 10)

Nếu \(\phi : G \to H\) là homomorphism và \(G\) là nhóm cyclic, chứng minh rằng \(\phi(G)\) cũng là nhóm cyclic.

Tương tự câu 9.

Exercise (Bài 20)

Cho homomorphism \(\phi : G \to H\) và định nghĩa quan hệ \(\sim\) trên \(G\) theo quy tắc \(a, b \in G\) có quan hệ với nhau nếu \(\phi(a) = \phi(b)\) và kí hiệu là \(a \sim b\). Chứng minh đây là quan hệ tương đương và mô tả cách xây dựng các lớp tương đương.

Do \(\phi\) là ánh xạ nên \(\phi(a) = \phi(a)\) với mọi \(a \in G\), suy ra \(\sim\) có tính phản xạ.

Nếu \(a \sim b\) thì \(\phi(a) = \phi(b)\). Tương đương với \(\phi(b) = \phi(a)\) nên \(b \sim a\). Như vậy quan hệ trên có tính đối xứng.

Nếu \(a \sim b\) thì \(\phi(a) = \phi(b)\), và nếu \(b \sim c\) thì \(\phi(b) = \phi(c)\). Suy ra \(\phi(a) = \phi(b) = \phi(c)\) nên \(a \sim c\). Như vậy quan hệ có tính bắc cầu.

Kết luận: quan hệ \(\sim\) xác định như trên là quan hệ tương đương.

Để xây dựng các lớp tương đương, đặt \(I = \{ i_1, i_2, \ldots, i_m \}\) là ảnh của homomorphism \(\phi\). Rõ ràng \(I \subset H\). Khi đó các lớp tương đương ứng với các phần tử \(i_1, i_2, \ldots, i_m\), hay

\[\bar{i}_j = \{ g \in G : \phi(g) = i_j \}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m.\]