Topology¶
Nhập môn topology¶
Phần này mình sử dụng tài liệu [19] (phần II, bài 3).
Định nghĩa 40
Không gian topo (hay topological space) là một cặp \((X, \tau)\), trong đó:
\(X\) là một tập hợp khác rỗng.
\(\tau\) là một họ các tập con của \(X\) thỏa ba tiên đề
\(\emptyset \in \tau\) và \(X \in \tau\);
hợp bất kì một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập thuộc \(\tau\) cũng là tập thuộc \(\tau\);
giao của một số hữu hạn các tập thuộc \(\tau\) cũng là tập thuộc \(\tau\).
Các phần tử thuộc \(\tau\) được gọi là tập mở (hay open set, открытое множество).
Như vậy:
\(\emptyset\) và \(X\) là các tập mở;
hợp của các tập mở cũng là tập mở;
giao của một số hữu hạn tập mở cũng là tập mở.
Ví dụ 22
Topo thô hay topo tầm thường (indiscrete/trivial) là tập \(\tau = \{ \emptyset, X \}\). Topo này chỉ gồm hai phần tử là tập rỗng và bản thân tập \(X\). Dễ thấy ba tiên đề được thỏa mãn.
Ví dụ 23
Khi \(\tau = P(X)\) là tập hợp tất cả tập con của tập \(X\).
Ví dụ, nếu \(X = \{ x_1, x_2 \}\) thì
Một kết quả thông dụng là khi tập \(X\) có \(n\) phần tử thì \(P(X)\) có \(2^n\) phần tử. Lúc này \(\tau\) cũng thỏa ba tiên đề trong định nghĩa.
Ví dụ 24
Topo chuẩn (standard) trên \(\mathbb{R}\): tập \(U \subseteq \mathbb{R}\) được gọi là mở nếu với mọi điểm \(x \in U\), tồn tại một khoảng mở \((a; b)\) sao cho \(x \in (a; b) \subseteq U\).
Tập mở (open set, открытое множество) là định nghĩa các phần tử trong \(\tau\).
Tập đóng (closed set, замкнутое множество) nếu phần bù của nó trong \(X\) là tập mở. Nói cách khác, nếu \(F \subseteq X\) là tập đóng thì \(X \setminus F\) là tập mở.
Chú ý 11
Tập mở và tập đóng không phải hai khái niệm loại trừ nhau. Một tập thuộc \(\tau\) có thể vừa mở và vừa đóng.
Ở Ví dụ 23 thì \(\{ x_1 \}\) và \(\{ x_2 \}\) là các tập mở. Đồng thời, \(\{ x_1 \} = X \setminus \{ x_2 \}\) nên \(\{ x_1 \}\) cũng là tập đóng, tương tự cho \(\{ x_2 \}\).