9. Không gian Hilbert

9.1. Không gian metric

Cho tập hợp \(E\) khác rỗng và \(d\) là ánh xạ \(E \times E \to \mathbb{R}\) thỏa mãn

  1. \(d(x, y) \geqslant 0\) với mọi \(x, y \in E\) (tính phân biệt dương).

  2. \(d(x, y) = 0\) khi và chỉ khi \(x = y\).

  3. \(d(x, y) = d(y, x)\) với mọi \(x, y \in E\) (tính đối xứng).

  4. \(d(x, z) \leqslant d(x, y) + d(y, z)\) với mọi \(x, y, z \in E\) (bất đẳng thức tam giác).

Khi đó \(d\) được gọi là khoảng cách hay metric trên \(E\), còn \((E, d)\) được gọi là không gian metric.

Sau đây là một số không gian metric thông dụng trên \(E = \mathbb{R}\).

Cho \(\bm{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) và \(\bm{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)\) là các vector trên \(\mathbb{R}^n\).

Ví dụ 9.1

Metric xác định bởi tổng khoảng cách giữa từng tọa độ

\[d(\bm{x}, \bm{y}) = \sum_{i=1}^n \lvert x_i - y_i \rvert.\]

Ví dụ 9.2

Metric Euclid là khoảng cách Euclid quen thuộc

\[d(\bm{x}, \bm{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.\]

Tổng quát hơn với số mũ bất kì

\[d(\bm{x}, \bm{y}) = \left[\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^p\right]^{1/p}.\]

Ví dụ 9.3

Metric xác định bởi

\[d(\bm{x}, \bm{y}) = \max_{1 \leqslant i \leqslant 1} \lvert x_i - y_i \rvert.\]

Ví dụ 9.4

Metric rời rạc

\[\begin{split}d(\bm{x}, \bm{y}) = \begin{cases} 0, \bm{x} = \bm{y} \\ 1, \bm{x} \neq \bm{y} \end{cases}\end{split}\]

Ví dụ 9.5

Metric

\[\begin{split}d(\bm{x}, \bm{y}) = \begin{cases} 0, \ x_i = y_i \\ \lvert x_i - y_i \rvert, \ x_i \neq y_i \end{cases} \ \text{với mọi} \ i \geqslant 2.\end{split}\]

Tiếp theo ta có một số không gian metric trên tập các hàm số.

Ví dụ 9.6 (Metric trên không gian hàm số từ tập \(A\) bất kì vào không gian metric \((X, d)\))

Với \(f, g: A \to (X, d)\) xác định

\[d(f, g) = \sup_{x \in A} d(f(x), g(x)).\]

Ví dụ 9.7 (Metric trên không gian các hàm liên tục trên \([a, b]\) vào \(\mathbb{R}\))

Với \(f, g: [a, b] \to \mathbb{R}\) liên tục, xác định

\[d(f, g) = \int\limits_a^b \lvert f(x) - g(x) \rvert \, dx.\]

9.2. Không gian Hilbert

Không gian Hilbert là không gian vector \(H\) trên trường \(\mathbb{R}\) hoặc \(\mathbb{C}\) đồng thời trang bị tích vô hướng \(\langle \cdot, \cdot, \rangle\) thỏa các điều kiện sau:

  1. \(H\) là không gian vector tuyến tính (phép cộng và phép nhân vô hướng).

  2. Tích trong (hay inner product, tích vô hướng) là ánh xạ \(H \times H \to \mathbb{R}\) hoặc \(\mathbb{C}\) thỏa

    • tuyến tính theo biến đầu

    \[\langle a \bm{x} + b \bm{y}, \bm{z} \rangle = a \langle \bm{x}, \bm{z} \rangle + b \langle \bm{y}, \bm{z} \rangle,\]

    • đối xứng liên hợp

    \[\langle \bm{x}, \bm{y} \rangle = \overline{\bm{y}, \bm{x}},\]

    • xác định dương

    \[\langle \bm{x}, \bm{x} \rangle \geqslant 0 \ \text{và} \ \langle \bm{x}, \bm{x} \rangle = 0 \Leftrightarrow \bm{x} = \bm{0}.\]

  3. Độ dài và chuẩn: chuẩn (hay norm) của vector \(\bm{x}\) là \(\lVert \bm{x} \rVert = \langle \bm{x}, \bm{x} \rangle\).

  4. Đầy đủ: \(H\) là không gian metric đầy đủ dưới chuẩn \(\lVert \bm{x} - \bm{y} \rVert\), nghĩa là giới hạn của mọi dãy Cauchy trong \(H\) cũng là phần tử trong \(H\).

Chú ý 9.1

Nếu các điều kiện 1, 2, 3 thỏa còn 4 không thỏa thì \(H\) được gọi là không gian tích trong.

Chú ý 9.2

Không gian Hilbert là trường hợp riêng của không gian Banach (chỉ yêu cầu về chuẩn mà có thể không có tích trong).