2.5. Đa thức nội suy Lagrange

Trong đại số, công thức nội suy Lagrange cho phép chúng ta tìm được một đa thức \(f(x)\) trên trường \(\mathbb{F}\) bất kì khi biết được một số cặp \((x_i, f(x_i))\) nhất định với \(x_i, f(x_i) \in \mathbb{F}\).

Để tìm đa thức \(f(x)\) có bậc \(n\) ta cần ít nhất \(n+1\) cặp \((x_i, f(x_i) = y_i)\) với \(0 \leqslant i \leqslant n\) và \(x_i \neq x_j\) với mọi \(i \neq j\).

Khi đó, ta có công thức nội suy Lagrange như sau:

\[f(x) = \sum_{i=0}^{n} \left(y_i \cdot \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\right).\]

Ví dụ 2.3

Giả sử chúng ta có hàm \(f(x) = x^2 + x + 1\). Khi đó \(f(1) = 3\), \(f(-1) = 1\), \(f(0) = 1\).

Từ ba cặp \((x_i, f(x_i))\) trên mình sẽ tìm ngược lại \(f(x)\) ban đầu.

Theo công thức thì

\[\begin{split}f(x) = & y_0 \cdot \frac{(x - x_1) (x - x_1)}{(x_0 - x_1) (x_0 - x_2)} + y_1 \cdot \frac{(x - x_0) (x - x_2)}{(x_1 - x_0) (x_1 - x_2)} \\ + & y_2 \cdot \frac{(x - x_0) (x - x_1)}{(x_2 - x_0) (x_2 - x_1)}\end{split}\]

Thay số vào thì ta có

\[f(x) = 3 \cdot \frac{(x - (-1)) (x - 0)}{(1 - (-1)) (1 - 0)} + 1 \cdot \frac{(x - 1) (x - 0)}{(-1 - 1) (-1 - 0)} + 1 \cdot \frac{(x - 1) (x - (-1))}{(0 - 1) (0 - (-1))}\]

Thu gọn lại ta có \(f(x) = x^2 + x + 1\) (đúng với hàm cần tìm).

Phần tiếp theo sẽ liên quan đến phương pháp tính đa thức nội suy Lagrange được tham khảo ở [6] (bản dịch tiếng Nga, chương 4). Nếu đặt

\[L_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} = \frac{(x - x_0) \cdots (x - x_{i-1}) (x - x_{i+1}) \cdots (x - x_n)}{(x_i - x_0) \cdots (x_i - x_{i-1}) (x_i - x_{i+1}) \cdots (x_i - x_n)}\]

thì đa thức \(L_i(x)\) được gọi là hệ số Lagrange. Đa thức này có tính chất:

  • đều có bậc là \(n\);

  • \(L_i(x_i) = 1\);

  • \(L_i(x_j) = 0\) với \(j \neq i\).

Như vậy, nội suy Lagrange có thể biểu diễn dưới dạng

\[f(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)\]

thỏa mãn các điều kiện:

  • \(f(x)\) có bậc không quá \(n\);

  • \(f(x_i) = y_i\).

Ta sẽ gọi biểu diễn này là dạng Lagrange (hay форма Лагранжа).

Dễ thấy rằng biểu diễn của \(L_i\) chứa rất nhiều phép nhân và việc tính toán sẽ khó khăn khi \(n\) lớn. Do đó ta sẽ xem xét công thức tỉ cự (hay барицентрическая формула).

Nếu ta chọn \(y_i = 1\) với mọi \(x_i\) thì ta có \(g(x) = 1\) thỏa \(g(x_i) = y_i\). Khi đó

\[1 = \sum_{i=0}^n L_i(x),\]
\[f(x) = \frac{f(x)}{1} = \frac{y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + \cdots + y_n L_n(x)}{L_0(x) + L_1(x) + \cdots + L_n(x)}.\]

nếu ta chia cả tử và mẫu của \(f(x)\) cho

\[(x - x_0) (x - x_1) \cdots (x - x_n)\]

thì nhận được

\[f(x) = \dfrac{\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{y_i X_i}{x - x_i}}{\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{X_i}{x - x_i}}\]

với

\[X_i = \dfrac{1}{(x_i - x_0) \cdots (x_i - x_{i-1}) (x_i - x_{i+1}) \cdots (x_i - x_n)}.\]

Biểu thức \(X_i\) có dạng phức tạp nhưng chỉ phụ thuộc vào \(x_i\). Do đó ta chỉ cần tính một lần cho mọi cặp điểm. Công thức đó được gọi là công thức tỉ cự (hay барицентрическая формула).