Sai số

Giả sử \(x\) là số gần đúng của \(x^*\). Khi đó

\[\Delta = \lvert x - x^* \rvert\]

được gọi là sai số thực sự của \(x\).

Sai số tuyệt đối. Giả sử tồn tại \(\Delta x > 0\) đủ bé sao cho \(\lvert x - x^* \rvert \leqslant \Delta x\) thì \(\Delta x\) được gọi là sai số tuyệt đối của \(x\).

Sai số tương đối. Sai số tương đối là đại lượng

\[\delta x = \frac{\Delta x}{\lvert x \rvert}.\]

Giả sử ta tính đại lượng \(y = f(x_1, \ldots, x_n)\) với \(n\) số gần đúng \(x_i\), trong đó \(f\) là hàm khả vi, liên tục theo các đối số \(x_i\).

Sai số tuyệt đối được xác định bởi công thức

\[\Delta y = \sum_{i=1}^n \left\lvert \frac{\partial f}{\partial x_i} \right\rvert \Delta x_i.\]

Sai số tương đối được xác định bởi công thức

\[\delta y = \sum_{i=1}^n \left\lvert \frac{\partial \ln f}{\partial x_i} \right\rvert \Delta x_i.\]

Ví dụ, cho \(a \approx 10,25\); \(b \approx 0,324\); \(c \approx 12,13\). Tính sai số của \(y_1 = \dfrac{a^3}{b\sqrt{c}}\) và \(y_2 = a^3 - b\sqrt{c}\).

Ta có \(\dfrac{\partial y_1}{\partial a} = \dfrac{3a^2}{b\sqrt{c}}\); \(\dfrac{\partial y_1}{\partial b} = -\dfrac{a^3}{b^2\sqrt{c}}\); \(\dfrac{\partial y_1}{\partial c} = -\dfrac{a^3}{2bc^{3/2}}\).

Khi đó

\[\Delta y_1 = \left\lvert \dfrac{3a^2}{b\sqrt{c}} \right\rvert \cdot \Delta a + \left\lvert -\dfrac{a^3}{b^2 c} \right\rvert \cdot \Delta b + \left\lvert \dfrac{a^2}{2bc^{3/2}} \right\rvert \cdot \Delta c.\]

Đối với sai số tương đối, vì

\[\ln y_1 = 3 \ln a - \ln b - \dfrac{1}{2} \ln c \Longrightarrow \dfrac{\partial \ln y_1}{\partial a} = \dfrac{3}{a}, \dfrac{\partial \ln y_1}{\partial b} = -\dfrac{1}{b}, \dfrac{\partial \ln y_1}{\partial c} = -\dfrac{1}{2c},\]

như vậy

\[\delta y_1 = \frac{3}{\lvert a \rvert} \cdot \Delta a + \frac{1}{\lvert b \rvert} \cdot \Delta b + \frac{1}{2 \lvert c \rvert} \cdot \Delta c = 3 \delta a + \delta b + \frac{\delta c}{2}.\]

Tương tự, ta tính sai số tuyệt đối của \(y_2\)

\[\begin{split}\Delta y_2 & = \left\lvert \frac{\partial y_2}{\partial a} \right\rvert \cdot \Delta a + \left\lvert \frac{\partial y_2}{\partial b} \right\rvert \cdot \Delta b + \left\lvert \frac{\partial y_2}{\partial c} \right\rvert \cdot \Delta c \\ \Longrightarrow \Delta y_2 & = \lvert 3a^2 \rvert \cdot \Delta a + \lvert -\sqrt{c} \rvert \cdot \Delta b + \left\lvert \frac{b}{2\sqrt{c}} \right\rvert \cdot \Delta c \\ & = 3 \lvert a \rvert^3 \cdot \delta a + \lvert b\sqrt{c} \rvert \cdot \delta b + \left\lvert \frac{b\sqrt{c}}{2} \right\rvert \cdot \delta c.\end{split}\]