Giải tích

• 1. Giải tích
  • 1.1. Giới hạn
  • 1.2. Tính liên tục của hàm số
  • 1.3. Tính đơn điệu và cực trị
  • 1.4. Đạo hàm
  • 1.5. Đạo hàm riêng
  • 1.6. Đạo hàm một số hàm nhiều biến
  • 1.7. Một số định lí về giá trị trung bình
  • 1.8. Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị
  • 1.9. Tích phân đường
• 2. Phương trình vi phân
  • 2.1. Phương trình vi phân bậc nhất
  • 2.2. Phương trình tuyến tính và phương trình Bernoulli
  • 2.3. Phương trình vi phân toàn phần. Nhân tử tích phân
  • 2.4. Phương trình Lagrange và Clairaut
• 3. Chuỗi số
  • 3.1. Tiêu chuẩn Cauchy

Hàm gamma, hàm beta, hàm zeta

[TODO] Triển khai hàm gamma và beta thành mục riêng.

Hàm gamma được định nghĩa bởi tích phân

\[\Gamma(z) = \int\limits_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt,\]

với \(z \in \mathbb{C}\) và \(\mathrm{Re}(z) > 0\).

Hàm gamma có một số tính chất thú vị:

• \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) khi \(n\) là số nguyên dương với \(\Gamma(1) = 1\);

• \(\Gamma(z + 1) = z \Gamma(z)\).

Tính chất thứ hai có thể chứng minh bằng tích phân từng phần

\[\begin{split}\Gamma(z + 1) & = \int\limits_0^{\infty} t^z e^{-t} \, dt = (-t^z e^{-t})\Big|_0^{\infty} + \int\limits_0^{\infty} z t^{z-1} e^{-t} \, dt \\ & = z \int\limits_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt = z \Gamma(z).\end{split}\]

Euler's reflection formula:

\[\Gamma(1 - z) \cdot \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\sin \pi z}, \ z \not\in \mathbb{Z}.\]

Từ công thức Euler ta suy ra

\[\Gamma(z - n) = (-1)^{n-1} \dfrac{\Gamma(-z) \cdot \Gamma(1 + z)}{\Gamma(n + 1 - z)}, \ n \in \mathbb{Z}.\]

Legendre duplication formula:

\[\Gamma(z) \cdot \Gamma(z + \dfrac{1}{2}) = 2^{1 - 2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z).\]

Từ công thức Legendre có thể suy ra một số tính chất:

• \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\);

• nếu \(\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})\) thì \(\Gamma(z) \cdot \Gamma(\overline{z}) \in \mathbb{R}\).

Tính chất thứ hai, cụ thể hơn, nếu đặt \(z = a + bi\) thì

\[\lvert \Gamma(a + b) \rvert^2 = \lvert \Gamma(a) \rvert^2 \prod_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{1 + \dfrac{b^2}{(a + k)^2}}.\]

Ta có thể mở rộng hàm gamma cho phần thực âm với công thức Euler

\[\Gamma(-x) = \dfrac{1}{\Gamma(x + 1)} \cdot \dfrac{\pi}{\sin(\pi(x+1))},\]

hoặc tính chất của hàm gamma ở trên

\[\Gamma(-x + 1) = (-x) \cdot \Gamma(-x) \Rightarrow \Gamma(-x) = -\dfrac{1}{x} \Gamma(-x + 1), \ x \not\in \mathbb{Z}.\]

Hàm beta được định nghĩa bởi tích phân

\[B(z_1, z_2) = \int\limits_0^1 t^{z_1 - 1} (1 - t)^{z_2 - 1} \, dt\]

với đầu vào là các số phức \(z_1\), \(z_2\) mà \(\mathrm{Re}(z_1) > 0\), \(\mathrm{Re}(z_2) > 0\).

Hàm beta còn được định nghĩa thông qua tích phân

\[B(z_1, z_2) = \int\limits_0^{\infty} \dfrac{u^{z_1 - 1}}{(1 + u)^{z_1 + z_2}} \, du.\]

Tại sao hai định nghĩa lại tương đương nhau? Các bạn hãy đặt \(t = \dfrac{u}{1 + u}\). Khi \(u \to \infty\) thì \(t \to 1\) và sử dụng phương pháp đổi biến để biến đổi hai dạng tích phân.

Một số tính chất của hàm beta

• \(B(z_1, z_2) = \dfrac{\Gamma(z_1) \cdot \Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1 + z_2)}\);

• \(B(1, x) = \dfrac{1}{x}\);

• \(B(x, 1 - x) = \dfrac{\pi}{\sin \pi x}\) với \(x \not\in \mathbb{Z}\).

Ví dụ, tính tích phân

\[I = \int\limits_0^{+\infty} \dfrac{x^{1/4}}{(1 + x)^2}\,dx\]

với tích phân Euler.

Theo định nghĩa hàm beta thì

\[B(p, q) = \int\limits_0^{+\infty} \dfrac{u^{p-1}}{(1 + u)^{p+q}} \,du\]

nên \(I = B\left(\dfrac{5}{4}, \dfrac{3}{4}\right)\).

Theo tính chất của hàm beta (liên hệ với hàm gamma) thì

\[B(p, q) = \dfrac{\Gamma(p) \cdot \Gamma(q)}{\Gamma(p + q)} \Rightarrow I = \dfrac{\Gamma\left(\dfrac{5}{4}\right) \cdot \Gamma\left(\dfrac{3}{4}\right)}{\Gamma(2)}.\]

Vì \(\Gamma(n) = (n-1)!\) với \(n\) là số nguyên dương nên \(I = \Gamma\left(\dfrac{5}{4}\right) \cdot \Gamma\left(\dfrac{3}{4}\right)\).

Vì \(\Gamma(p + 1) = p \Gamma(p)\) với \(p > 0\) (ở đây \(p\) là số thực) nên

\[\Gamma\left(\dfrac{5}{4}\right) = \dfrac{1}{4} \cdot \Gamma\left(\dfrac{1}{4}\right),\]

mà theo tính chất của hàm gamma

\[\Gamma(p) \cdot \Gamma(1 - p) = \dfrac{\pi}{\sin \pi p}\]

nên

\[\Gamma\left(\dfrac{3}{4}\right) \cdot \Gamma\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi / 4)} = \dfrac{\pi}{\sqrt{2} / 2} = \pi \sqrt{2}.\]

Như vậy đáp án là

\[I = \Gamma\left(\dfrac{5}{4}\right) \cdot \Gamma\left(\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{1}{4} \cdot \Gamma\left(\dfrac{1}{4}\right) \cdot \Gamma\left(\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \sqrt{2} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}.\]

Hàm zeta được định nghĩa bởi tích phân

\[\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} = \dfrac{1}{1^s} + \dfrac{1}{2^s} + \cdots\]

với đầu vào \(s \in \mathbb{C}\) có \(\mathrm{Re}(s) > 1\).

Liên hệ giữa hàm zeta và hàm gamma là

\[\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} = \dfrac{1}{\Gamma(s)} \int\limits_0^{\infty} \dfrac{x^{s-1}}{e^x - 1}\,dx.\]