1.1. Giới hạn¶
1.1.1. Giới hạn của dãy số¶
Definition 1.43 (Giới hạn hữu hạn của dãy số)
Cho dãy số \(\{ a_n \}\). Ta nói dãy \(\{ a_n \}\) có giới hạn hữu hạn \(L\) nếu với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(n_0 \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n \geqslant n_0\) thì
Kí hiệu: \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = L}\).
Example 1.22
Xét dãy số cho bởi công thức \(a_n = \dfrac{1}{n}\). Ta chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn là \(0\).
Với mọi \(\varepsilon > 0\) tùy ý, ta cần chứng minh tồn tại số \(n_0 \geqslant 1\) sao cho với mọi \(n \geqslant n_0\) thì \(\lvert a_n - 0 \rvert < \varepsilon\).
Nói cách khác \(a_{n_0} < \varepsilon\), hay tương đương với
Vậy ta chỉ cần chọn \(n_0\) thỏa bất đẳng thức trên (luôn tìm được).
Kết luận: \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}\).
Definition 1.44 (Dãy số có giới hạn vô cực)
Cho dãy số \(\{a_n\}\). Ta nói dãy số có giới hạn ở dương vô cực nếu với mọi \(M > 0\), tồn tại \(n_0 \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n \geqslant n_0\) thì \(a_n > M\).
Nói cách khác, nếu ta chọn một số \(M\) rất lớn bất kì, thì mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi luôn lớn hơn \(M\). Định nghĩa về dãy số có giới hạn ở âm vô cực cũng tương tự.
1.1.2. Giới hạn của hàm số¶
Để định nghĩa giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x\) tiến tới \(x_0\) ta có hai loại định nghĩa.
Definition 1.45 (Giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số)
Xét hàm số \(f(x)\). Ta nói hàm số có giới hạn hữu hạn \(L\) khi \(x\) tiến tới \(x_0\), nếu với mọi dãy số \(\{x_n\}\) mà \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} x_n = x_0}\), thì \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} f(x_n) = L}\).
Định nghĩa này tuân theo giới hạn của dãy số. Khi đó mọi phần tử của dãy số từ một số hạng nào đó trở đi cho giá trị \(f(x_n)\) tiến về \(L\).
Định nghĩa của hàm số theo kiểu Cauchy (hay còn được gọi là ngôn ngữ \(\delta-\varepsilon\)) là kiểu định nghĩa phổ biến được giảng dạy trong nhà trường.
Definition 1.46 (Giới hạn hàm số kiểu Cauchy)
Xét hàm số \(f(x)\). Ta nói hàm số có giới hạn hữu hạn \(L\) khi \(x\) tiến tới \(x_0\), nếu với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(\delta > 0\) sao cho với mọi \(x\) mà \(\lvert x - x_0 \rvert < \delta\) thì \(\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon\).
Kí hiệu: \(\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x) = L}\).
Ta có thể thấy ở đây \(x\) tiến về \(x_0\) (khá giống định nghĩa giới hạn hàm số) và \(f(x)\) tương ứng tiến về \(L\).
Tương tự ta cũng có giới hạn hàm số ở vô cực.
Definition 1.47 (Giới hạn hàm số ở vô cực)
Với hàm số \(f(x)\), ta nói hàm số có giới hạn tại dương vô cực khi \(x\) tiến về \(x_0\) nếu với mọi \(M > 0\), tồn tại \(\delta > 0\) sao cho với mọi \(x\) mà \(\lvert x - x_0 \rvert < \delta\) thì \(f(x) > M\).
Kí hiệu: \(\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty}\).
Definition 1.48 (Giới hạn một bên)
Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn phải \(L\) tại \(x_0\) khi \(x\) tiến về bên phải \(x_0\) nếu với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(\delta > 0\) sao cho với mọi \(0 < x - x_0 < \delta\) thì \(\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon\).
Kí hiệu: \(\displaystyle{\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L}\).
Nghĩa là chúng ta chỉ xét giới hạn khi \(x\) tiến tới \(x_0\) từ bên phải \(x > x_0\). Tương tự cho giới hạn trái.
Lưu ý rằng trong nhiều trường hợp, mặc dù cùng tiến tới \(x_0\) nhưng giới hạn trái và giới hạn phải có thể không bằng nhau.
Example 1.23
Xét hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\). Ta thấy hàm số không xác định tại \(x = 0\), và giới hạn trái và phải khác nhau do