1.4. Đạo hàm

1.4.1. Đạo hàm

Definition 1.53 (Đạo hàm)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên miền \(D\) và \(x_0\) là điểm thuộc \(D\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) (hoặc khả vi tại \(x_0\)) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

(1.1)\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.\]

Kí hiệu đạo hàm của \(f\) tại \(x_0\) là \(f'(x_0)\).

Lưu ý rằng nếu giới hạn trên không phải là giới hạn hữu hạn (không tồn tại hoặc tiến tới vô cực) thì hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\).

Example 1.24

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = x^3 + 2 x^2 - 4\) tại \(x_0 = 4\).

Ta khai triển

\[\begin{split}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = & \frac{f(x) - f(4)}{x - 4} \\ = & \frac{x^3 + 2x^2 - 4 - (4^3 + 2 \cdot 4^2 - 4)}{x - 4} \\ = & \frac{(x^3 - 4^3) + 2(x^2 - 4^2)}{x - 4} \\ = & \frac{(x-4)(x^2 + 4x + 16) + 2 (x-4)(x+4)}{x - 4} \\ = & x^2 + 4 x + 16 + 2(x+4).\end{split}\]

Cho \(x\) tiến tới \(4\) thì ta có đạo hàm tại \(x = 4\) là

\[\begin{split}f'(4) = & \lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4} \\ = & \lim_{x \to 4} (x^2 + 4x + 16 + 2(x+4)) \\ = & 4^2 + 4 \cdot 4 + 16 + 2 \cdot (4 + 4) = 64.\end{split}\]

Example 1.25

Xét hàm số \(f(x) = x^2 + 1\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm tại \(x_0 \in \mathbb{R}\).

Ta có

\[f(x)-f(x_0) = x^2 + 1 - (x_0^2 + 1) = (x - x_0) (x + x_0).\]

Khi đó \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = x + x_0\) nên ta có \(\displaystyle{\lim_{x \to x_0} (x + x_0) = 2 x_0}\).

Trong định nghĩa ở (1.1), nếu ta đặt

\[\Delta x = x - x_0, \quad \Delta y = y - y_0 = f(x) - f(x_0),\]

ta gọi \(\Delta x\) là số gia của biến \(x\), tương tự \(\Delta y\) là số gia của biến \(y\).

Trong định nghĩa, \(x\) tiến tới \(x_0\) tương đương với \(\Delta x\) tiến tới \(0\). Chuyển vế \(x_0\) ta có \(x = x_0 + \Delta x\) và từ đó \(f(x) = f(x_0 + \Delta x)\). Định nghĩa đạo hàm ở trên có thể được viết lại

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.\]

Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng \((a, b)\) thì ta nói hàm số khả vi trên khoảng đó.

Ví dụ đối với hàm số \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4\) như trên. Với mọi \(x_0 \in \mathbb{R}\) ta có

\[\begin{split}f'(x_0) = & \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ = & \lim_{x \to x_0} \frac{x^3 + 2x^2 - 4 - (x_0^3 + 2x_0^2 - 4)}{x - x_0} \\ = & \lim_{x \to x_0} \frac{(x^3 - x_0^3) + 2 (x^2 - x_0^2)}{x - x_0} \\ = & \lim_{x \to x_0} (x^2 + x x_0 + x_0^2) + 2 (x + x_0) \\ = & x_0^2 + x_0 \cdot x_0 + x_0^2 + 2 (x_0 + x_0) = 3x_0^2 + 4 x_0.\end{split}\]

Ta thấy rằng giới hạn trên luôn tồn tại với mọi \(x_0 \in \mathbb{R}\) nên thay \(x_0\) thành \(x\) ta có đạo hàm \(f'(x) = 3x^2 + 4x\) của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

Remark 1.12

Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu \(f(x)\) khả vi tại \(x_0\) thì nó cũng liên tục tại \(x_0\). Tuy nhiên chiều ngược lại không đúng. Ví dụ với hàm số \(y = \lvert x \rvert\), hàm số liên tục tại \(x = 0\) nhưng giới hạn (đạo hàm) phải là \(1\), còn giới hạn (đạo hàm) trái là \(-1\).

Về mặt hình ảnh, khi hàm số khả vi tại một điểm thì đồ thị sẽ “trơn”, không gấp khúc tại điểm đó.

Definition 1.54 (Đạo hàm của hàm số trên một nửa khoảng hay một đoạn)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên tập \(K\), trong đó \(K\) là một nửa khoảng hay một đoạn.

Hàm số \(f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng \(K = [a; b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \((a; b)\) và có đạo hàm phải tại \(x = a\). Định nghĩa tương tự với \(K = [a; +\infty)\).

Hàm số \(f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng \(K = (a; b]\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \((a; b)\) và có đạo hàm trái tại \(x = b\). Định nghĩa tương tự với \(K = (-\infty; b]\).

Hàm số \(f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên đoạn \([a; b]\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng \((a; b)\), có đạo hàm phải tại \(x = a\) và có đạo hàm trái tại \(x = b\).

1.4.2. Đạo hàm của hàm số hợp

Theorem 1.8

Nếu hàm số \(h = h(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0\) và hàm số \(y = g(h)\) có đạo hàm tại điểm \(h_0 = h(x_0)\) thì hàm số hợp \(f(x) = g(h(x))\) có đạo hàm tại điểm \(x_0\) và

\[f'(x) = g'(h_0) \cdot h'(x_0).\]

Nếu giả thiết trên đúng với mọi điểm \(x\) thuộc tập xác định \(J\) thì hàm số hợp \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(J\) và

\[f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x).\]

Công thức trên còn được viết gọn là

\[f'_x = g'_h \cdot h'_x.\]

Chứng minh

Theo định nghĩa đạo hàm thì

\[h(x_0 + a) - h(x_0) = h'(x_0) \cdot a + \varepsilon(a) \cdot a,\]

với \(\varepsilon(a) \to 0\) khi \(a \to 0\). Ở đây \(a\) đóng vai trò như \(\Delta x\) trong định nghĩa.

Tương tự cho hàm \(g\) ta có

\[g(h(x_0) + b) - g(h(x_0)) = g'(h(x_0)) \cdot b + \eta(b) \cdot b,\]

với \(\eta(b) \to 0\) khi \(b \to 0\).

Bây giờ xét

\[\begin{split}g(h(x_0 + a)) - g(h(x_0)) & = g(h(x_0) + h'(x_0) \cdot a + \varepsilon(a) \cdot a) - g(h(x_0)) \\ & = g(h(x_0) + c) - g(h(x_0)) = g'(h(x_0)) \cdot c + \eta(c) \cdot c\end{split}\]

với \(h'(x_0) \cdot a + \varepsilon(a) \cdot a = c\).

Ta thấy rằng khi \(a \to 0\) thì \(\dfrac{c}{a} \to h'(x_0)\) và \(c \to 0\), như vậy \(\eta(n) \to 0\).

Từ đây suy ra

\[\dfrac{g(h(x_0 + a)) - g(h(x_0))}{a} \to g'(h(x_0)) \cdot \dfrac{c}{a} + 0 \to g'(h(x_0)) \cdot h'(x_0)\]

khi \(a \to 0\).

1.4.3. Đạo hàm của hàm số ngược

Giả sử hàm số \(f: I \to J\) là một hàm khả nghịch, nghĩa là có hàm ngược. Khi đó nếu \(f\) có đạo hàm khác \(0\) tại điểm \(f^{-1}(x_0)\) thì \(f^{-1}\) cũng có đạo hàm tại điểm \(x_0\) theo đẳng thức

\[(f^{-1})'(x_0) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}.\]

Chúng ta sẽ không chứng minh ở đây vì chứng minh khá phức tạp.

Về mặt hình học, vì đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) và \(y = f^{-1}(x)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = x\) nên theo công thức trên, nếu hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \((x_0, y_0)\) là \(k\) thì hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = f^{-1}(x)\) tại điểm \((y_0, x_0)\) là \(\dfrac{1}{k}\).

1.4.4. Vi phân

Trong cách kí hiệu

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x},\]

ta thay \(\Delta y\) thành \(dy\) và \(\Delta x\) thành \(dx\) thì vi phân được định nghĩa là

\[f'(x) = \frac{dy}{dx} \Leftrightarrow dy = f'(x)\, dx.\]

Cách kí hiệu vi phân có ý nghĩa là vế trái là vi phân theo biến \(y\) và vế phải là vi phân theo biến \(x\). Do \(y = f(x)\) nên khi vi phân hai vế sẽ cho ra \(dy = f'(x)\, dx\) (vế trái là đa thức bậc \(1\) theo biến \(y\)).

Ví dụ phương trình \(y^2 = x^3 + 4x - 7\) thì khi vi phân hai vế ta có

\[(y^2)' \, dy = (x^3 + 4x - 7) \, dx \Longleftrightarrow 2y \, dy = (3x^2 + 4) \, dx.\]