Sai số
******

Giả sử :math:`x` là số gần đúng của :math:`x^*`. Khi đó

.. math:: \Delta = \lvert x - x^* \rvert

được gọi là **sai số thực sự** của :math:`x`.

**Sai số tuyệt đối.** Giả sử tồn tại :math:`\Delta x > 0` đủ bé sao cho :math:`\lvert x - x^* \rvert \leqslant \Delta x` thì :math:`\Delta x` được gọi là **sai số tuyệt đối** của :math:`x`.

**Sai số tương đối.** Sai số tương đối là đại lượng

.. math:: \delta x = \frac{\Delta x}{\lvert x \rvert}.

Giả sử ta tính đại lượng :math:`y = f(x_1, \ldots, x_n)` với :math:`n` số gần đúng :math:`x_i`, trong đó :math:`f` là hàm khả vi, liên tục theo các đối số :math:`x_i`.

Sai số tuyệt đối được xác định bởi công thức

.. math:: \Delta y = \sum_{i=1}^n \left\lvert \frac{\partial f}{\partial x_i} \right\rvert \Delta x_i.

Sai số tương đối được xác định bởi công thức

.. math:: \delta y = \sum_{i=1}^n \left\lvert \frac{\partial \ln f}{\partial x_i} \right\rvert \Delta x_i.

Ví dụ, cho :math:`a \approx 10,25`; :math:`b \approx 0,324`; :math:`c \approx 12,13`. Tính sai số của :math:`y_1 = \dfrac{a^3}{b\sqrt{c}}` và :math:`y_2 = a^3 - b\sqrt{c}`.

Ta có :math:`\dfrac{\partial y_1}{\partial a} = \dfrac{3a^2}{b\sqrt{c}}`; :math:`\dfrac{\partial y_1}{\partial b} = -\dfrac{a^3}{b^2\sqrt{c}}`; :math:`\dfrac{\partial y_1}{\partial c} = -\dfrac{a^3}{2bc^{3/2}}`.

Khi đó

.. math:: \Delta y_1 = \left\lvert \dfrac{3a^2}{b\sqrt{c}} \right\rvert \cdot \Delta a + \left\lvert -\dfrac{a^3}{b^2 c} \right\rvert \cdot \Delta b + \left\lvert \dfrac{a^2}{2bc^{3/2}} \right\rvert \cdot \Delta c.

Đối với sai số tương đối, vì

.. math:: \ln y_1 = 3 \ln a - \ln b - \dfrac{1}{2} \ln c \Longrightarrow \dfrac{\partial \ln y_1}{\partial a} = \dfrac{3}{a}, \dfrac{\partial \ln y_1}{\partial b} = -\dfrac{1}{b}, \dfrac{\partial \ln y_1}{\partial c} = -\dfrac{1}{2c},

như vậy

.. math:: \delta y_1 = \frac{3}{\lvert a \rvert} \cdot \Delta a + \frac{1}{\lvert b \rvert} \cdot \Delta b + \frac{1}{2 \lvert c \rvert} \cdot \Delta c = 3 \delta a + \delta b + \frac{\delta c}{2}.

Tương tự, ta tính sai số tuyệt đối của :math:`y_2`

.. math:: 
    
    \Delta y_2 & = \left\lvert \frac{\partial y_2}{\partial a} \right\rvert \cdot \Delta a + \left\lvert \frac{\partial y_2}{\partial b} \right\rvert \cdot \Delta b + \left\lvert \frac{\partial y_2}{\partial c} \right\rvert \cdot \Delta c \\
    \Longrightarrow \Delta y_2 & = \lvert 3a^2 \rvert \cdot \Delta a + \lvert -\sqrt{c} \rvert \cdot \Delta b + \left\lvert \frac{b}{2\sqrt{c}} \right\rvert \cdot \Delta c \\
    & = 3 \lvert a \rvert^3 \cdot \delta a + \lvert b\sqrt{c} \rvert \cdot \delta b + \left\lvert \frac{b\sqrt{c}}{2} \right\rvert \cdot \delta c.