2.7. Đa thức nhiều biến¶

Ta xét hàm số trên $n$ biến là $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$.

Đơn thức (hay monomial) là tích các lũy thừa của $n$ biến, có dạng $x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$, trong đó $i_k \in \ZZ_{\geqslant 0}$ với mọi $k = \overline{1, n}$. Quy ước $x_k^{0} = 1$.

Trên vành $\KK$ nào đó, một hạng tử (hay term) có dạng $a x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ với $a \in \KK$ và $a \neq 0$. Khi đó $a$ được gọi là hệ số (hay coefficient).

Khi đó, đa thức nhiều biến (hay multivariate polynomial) của $n$ biến sẽ là tổng các hạng tử $a x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$.

Kí hiệu vành các đa thức $n$ biến với hệ số trong vành $\KK$ là $\KK[x_1, x_2, \ldots, x_n]$.

2.7.1. Thứ tự đơn thức¶

Khi làm việc với các đa thức nhiều biến, ta quan tâm cách so sánh hai đơn thức bất kì.

Xét đơn thức $x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$. Đặt $\bm{i} = (i_1, i_2, \ldots, i_n) \in \ZZ_{\geqslant 0}^n$ là vector biểu diễn số mũ của đơn thức.

Định nghĩa 2.3 (Thứ tự từ điển)

Vector $\bm{i} = (i_1, i_2, \ldots, i_n)$ được gọi là lớn hơn so với $\bm{j} = (j_1, j_2, \ldots, j_n)$ theo thứ tự từ điển (lexicographic) nếu tồn tại $k$, $1 \leqslant k \leqslant n$, sao cho

\[i_1 = j_1, \ldots, i_{k-1} = j_{k-1}, i_k > j_k.\]

Ta kí hiệu vector $\bm{i}$ lớn hơn vector $\bm{j}$ theo thứ tự từ điển là $\bm{i} \succ_{\lex} \bm{j}$.

Các bạn hoàn toàn có thể sử dụng kí hiệu bé hơn $\prec$ để chỉ $\bm{j} \prec_{\lex} \bm{i}$. Tuy nhiên chúng ta quan tâm tới vector lớn nhất trong một tập các vector và do đó, việc sử dụng dấu lớn hơn $\succ$ sẽ thuận tiện cho việc quan sát.

Định nghĩa 2.4 (Thứ tự bậc - từ điển)

Vector $\bm{i} = (i_1, i_2, \ldots, i_n)$ được gọi là lớn hơn so với $\bm{j} = (j_1, j_2, \ldots, j_n)$ theo thứ tự bậc - từ điển (graded-lexicographic) nếu:

\[\left(\sum_{k=1}^{n} i_k > \sum_{k=1}^{n} j_k\right), \text{hoặc} \ \left(\sum_{k=1}^{n} i_k = \sum_{k=1}^{n} j_k \ \text{và} \ \bm{i} \succ_{\lex} \bm{j}\right).\]

Ta kí hiệu vector $\bm{i}$ lớn hơn vector $\bm{j}$ theo thứ tự bậc - từ điển là $\bm{i} \succ_{\grlex} \bm{j}$.

Chú ý 2.2

Thứ tự từ điển, bậc - từ điển là quan hệ thứ tự toàn phần.

Ví dụ, xét các đơn thức ba biến là $x^2 z$ và $y^2 z^2$. Ta chọn thứ tự của biến là $x > y > z$ nên khi viết đơn thức thì ta cần viết theo thứ tự đó.

Lúc này, vector biểu diễn số mũ của hai đơn thức lần lượt là $(2, 0, 1)$ và $(0, 2, 2)$. Do đó nếu xét theo thứ tự từ điển thì $x^2 z \succ_{\lex} y^2 z^2$, nhưng nếu xét theo thứ tự bậc - từ điển thì $y^2 z^2 \succ_{\grlex} x^2 z$.

2.7.2. Hạng tử, hệ số, đơn thức dẫn đầu¶

Đặt $\bm{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ là vector biểu diễn $n$ biến, và $\bm{i} = (i_1, i_2, \ldots, i_n)$ là vector biểu diễn số mũ. Đặt $\bm{x}^{\bm{i}} = x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$.

Xét đa thức $f$ trên $n$ biến. Khi đó $f$ có dạng

\[f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum c_{\bm{i}} \bm{x}^{\bm{i}},\]

với $c_{bm{i}}$ là hệ số thuộc trường $KK$.

Đặt $\text{T}(f)$ là tập tất cả hạng tử của đa thức $f$.