Hình học quỹ đạo trong âm lịch¶
Âm lịch được xây dựng từ chuyển động tương đối của Mặt Trăng, Trái Đất và Mặt Trời. Để mô tả ngắn gọn, ta lần lượt kí hiệu tâm của Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là \(S\), \(E\) và \(M\).
Hai quỹ đạo ellipse¶
Điểm \(E\) chuyển động trong một mặt phẳng \(P\) theo quỹ đạo ellipse nhận \(S\) làm một tiêu điểm. Ellipse này có bán trục lớn khoảng \(149{,}6\) triệu km và tâm sai \(0{,}01671\). Mặt phẳng \(P\) được gọi là mặt phẳng hoàng đạo, còn quỹ đạo ellipse là đường hoàng đạo. Chu kì chuyển động của \(E\) trên đường hoàng đạo xấp xỉ \(365{,}2564\) ngày.
Điểm \(M\) chuyển động quanh \(E\) theo một quỹ đạo ellipse khác, nhận \(E\) làm một tiêu điểm. Quỹ đạo này có bán trục lớn khoảng \(384{,}4\) nghìn km, tâm sai \(0{,}0549\) và nằm trong một mặt phẳng \(Q\) không trùng với mặt phẳng hoàng đạo. Chu kì chuyển động của \(M\) trên quỹ đạo xấp xỉ \(27{,}32\) ngày.
Như vậy mô hình hình học gồm hai ellipse nằm trên hai mặt phẳng khác nhau:
Điểm sóc và tháng âm lịch¶
Trong quá trình chuyển động có những thời điểm Mặt Trăng nằm về phía Mặt Trời khi quan sát từ Trái Đất. Khi đó phần được chiếu sáng của Mặt Trăng gần như không hướng về Trái Đất nên ta có đêm không Trăng. Thời điểm Mặt Trăng và Mặt Trời có cùng kinh độ hoàng đạo được gọi là điểm sóc.
Ngày chứa điểm sóc, gọi là ngày sóc, được quy định là ngày mồng Một. Một tháng âm lịch bắt đầu vào một ngày sóc và kết thúc vào ngày trước ngày sóc kế tiếp, do đó có \(29\) hoặc \(30\) ngày.
Mười hai tháng âm lịch ngắn hơn một năm dương lịch. Để giữ các tháng phù hợp với mùa, lịch âm–dương phải thỉnh thoảng thêm một tháng nhuận; trong chu kì \(19\) năm có \(7\) năm nhuận. Theo quy tắc thường dùng, các năm có số dư \(0, 3, 6, 8, 11, 14, 17\) khi chia cho \(19\) là những năm nhuận. Vấn đề còn lại là xác định tháng nào sẽ trở thành tháng nhuận.
Mười hai trung khí¶
Trên đường hoàng đạo, chọn điểm ứng với thời điểm Mặt Trời chiếu vuông góc xuống chí tuyến Nam vào giữa trưa làm gốc \(0^\circ\). Đây là mốc Đông chí. Từ đó, chia đường hoàng đạo thành mười hai cung bằng nhau bởi các vị trí
Mười hai mốc tương ứng lần lượt là Đông chí, Đại hàn, Vũ thủy, Xuân phân, Cốc vũ, Tiểu mãn, Hạ chí, Đại thử, Xử thử, Thu phân, Sương giáng và Tiểu tuyết. Chúng được gọi chung là mười hai trung khí. Ngày Trái Đất đi qua một mốc như vậy được gọi là ngày trung khí.
Về mặt hình học, phép chia này dùng góc ở tâm để phân hoạch đường hoàng đạo: mỗi cung có số đo \(30^\circ\). Tháng âm lịch nào không chứa một ngày trung khí sẽ được chọn làm tháng nhuận. Tháng ấy mang tên của tháng đứng ngay trước và được thêm chữ “nhuận”.
Ví dụ: tháng Hai nhuận năm Quý Mão¶
Năm Quý Mão 2023 có bốn điểm sóc liên tiếp:
\(3\) giờ \(53\) phút ngày 22 tháng 1;
\(14\) giờ \(06\) phút ngày 20 tháng 2;
\(0\) giờ \(23\) phút ngày 22 tháng 3;
\(11\) giờ \(12\) phút ngày 20 tháng 4.
Các trung khí tương ứng là:
Vũ thủy: \(5\) giờ \(34\) phút ngày 19 tháng 2;
Xuân phân: \(4\) giờ \(24\) phút ngày 21 tháng 3;
Cốc vũ: \(15\) giờ \(13\) phút ngày 20 tháng 4.
Từ các mốc trên:
tháng âm lịch từ ngày 22 tháng 1 đến ngày 19 tháng 2 chứa trung khí Vũ thủy, nên là tháng Giêng;
tháng từ ngày 20 tháng 2 đến ngày 21 tháng 3 chứa trung khí Xuân phân, nên là tháng Hai;
tháng từ ngày 22 tháng 3 đến ngày 19 tháng 4 không chứa trung khí, nên trở thành tháng Hai nhuận.
Đó là lí do năm Quý Mão có tháng Hai nhuận. Tháng này vẫn nằm trong mùa xuân, khoảng từ ngày 4 tháng 2 đến ngày 5 tháng 5 dương lịch.
Một câu hỏi hình học thú vị còn lại là: từ vị trí các điểm sóc và trung khí, vì sao tháng nhuận không nằm trong mùa đông?