Nền tảng toán học của đồ họa 3D =============================== Điểm, vectơ và hệ tọa độ ------------------------ Một điểm :math:`\bm{p} \in \mathbb{R}^3` biểu diễn vị trí, còn vectơ :math:`\bm{v} \in \mathbb{R}^3` biểu diễn độ dời hoặc hướng. Về mặt tọa độ chúng đều là bộ ba số, nhưng có vai trò affine khác nhau: .. math:: \bm{p}_2 - \bm{p}_1\ \text{là vectơ}, \qquad \bm{p} + \bm{v}\ \text{là điểm}. Với :math:`\bm{u}, \bm{v} \in \mathbb{R}^3`, tích vô hướng .. math:: \bm{u} \cdot \bm{v} = \|\bm{u}\|\, \|\bm{v}\|\cos \theta = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z đo góc và phép chiếu. Hai vectơ trực giao khi tích vô hướng bằng :math:`0`. Tích có hướng .. math:: \bm{u} \times \bm{v} = \begin{bmatrix} u_yv_z - u_zv_y\\ u_zv_x - u_xv_z\\ u_xv_y - u_yv_x \end{bmatrix} vuông góc với mặt phẳng sinh bởi :math:`\bm{u}, \bm{v}` và có độ dài bằng diện tích hình bình hành tương ứng. Chuẩn hóa vectơ khác không cho .. math:: \widehat{\bm{v}} = \frac{\bm{v}}{\|\bm{v}\|}. Phép chuẩn hóa cần ngưỡng :math:`\varepsilon` để tránh chia cho một độ dài gần :math:`0`. Không gian affine ----------------- Không gian affine tách khái niệm **điểm** khỏi **vectơ**. Với hai điểm :math:`P, Q`, hiệu :math:`Q - P` là một vectơ; với điểm :math:`P` và vectơ :math:`\bm{v}`, tổng :math:`P + \bm{v}` là một điểm. Không có phép cộng hai điểm mang ý nghĩa nội tại. Một :math:`m`-phẳng đi qua :math:`P_0` và có các hướng độc lập :math:`\bm{a}_1, \ldots, \bm{a}_m` được tham số hóa bởi .. math:: P(t_1, \ldots, t_m) = P_0 + \sum_{i = 1}^{m} t_i \bm{a}_i. Đường thẳng, mặt phẳng và không gian ba chiều lần lượt là các trường hợp :math:`m = 1, 2, 3`. Biểu diễn này là cơ sở của ray, cạnh, mặt phẳng clipping và các phép giao trong đồ họa. Các điểm :math:`P_0, \ldots, P_k` độc lập affine khi các vectơ :math:`P_1 - P_0, \ldots, P_k - P_0` độc lập tuyến tính. Bao affine của chúng gồm các tổ hợp .. math:: P = \sum_{i = 0}^{k} \lambda_i P_i, \qquad \sum_{i = 0}^{k} \lambda_i = 1. Nếu thêm điều kiện :math:`\lambda_i \geqslant 0`, ta nhận được bao lồi. Với ba đỉnh của tam giác, các :math:`\lambda_i` chính là tọa độ barycentric; chúng vừa kiểm tra một điểm có nằm trong tam giác vừa nội suy thuộc tính đỉnh. Mục tiêu affine và đổi hệ tọa độ -------------------------------- Một mục tiêu affine gồm gốc :math:`O` và một cơ sở :math:`(\bm{e}_1, \ldots, \bm{e}_n)`. Tọa độ :math:`\bm{x}` của điểm :math:`P` được xác định bởi .. math:: P = O + \sum_{i = 1}^{n} x_i \bm{e}_i. Nếu mục tiêu mới có gốc :math:`O' = O + \bm{b}` và ma trận :math:`C` chứa các vectơ cơ sở mới viết trong cơ sở cũ, thì hai bộ tọa độ liên hệ bởi .. math:: \bm{x} = C \bm{x}' + \bm{b}. Đây là dạng tổng quát của phép đổi model space sang world space hoặc world space sang camera space. Một ánh xạ affine có dạng .. math:: f(P) = A P + \bm{t}. Nó bảo toàn đường thẳng, tính song song và tổ hợp affine, nhưng chỉ bảo toàn độ dài và góc khi phần tuyến tính :math:`A` là một phép đẳng cự. Ánh xạ được xác định hoàn toàn bởi :math:`A` và ảnh của một điểm; hợp hai ánh xạ affine vẫn là ánh xạ affine. Tọa độ thuần nhất ----------------- Tịnh tiến không phải phép biến đổi tuyến tính trong :math:`\mathbb{R}^3`. Ta nhúng không gian affine vào tọa độ thuần nhất: .. math:: \bm{p} = (x, y, z) \longmapsto (x, y, z, 1), \qquad \bm{v} = (x, y, z) \longmapsto (x, y, z, 0). Khi đó cả tịnh tiến, quay, co giãn và phép chiếu phối cảnh đều có thể biểu diễn bằng ma trận :math:`4 \times 4`. Với quy ước vectơ cột, .. math:: \bm{p}' = M \bm{p}. Nếu dùng vectơ hàng thì thứ tự nhân ma trận phải đảo lại. Không được trộn hai quy ước trong cùng một phép tính. Biến đổi affine cơ bản ---------------------- Ma trận tịnh tiến là .. math:: T(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Ma trận co giãn là .. math:: S(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Các phép quay quanh ba trục có dạng .. math:: R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \theta & - \sin \theta & 0\\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, .. math:: R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, .. math:: R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Một world transform thường là tích .. math:: M_{\mathrm{world}} = T R S. Với vectơ cột, phép ở bên phải tác động trước: mô hình được co giãn, quay rồi mới tịnh tiến. Nói chung :math:`RT \neq TR`, nên đổi thứ tự có thể biến một phép tự quay thành phép quay quanh một tâm bên ngoài. Quay quanh điểm :math:`\bm{c}` được thực hiện bởi .. math:: M = T(\bm{c})R T(-\bm{c}). Góc Euler và quaternion ----------------------- Ba phép quay liên tiếp tạo một biểu diễn góc Euler. Chẳng hạn quy ước :math:`z`--:math:`y`--:math:`z` dùng .. math:: R = R_z(\gamma)R_y(\beta)R_z(\alpha). Biểu diễn này trực quan nhưng phụ thuộc thứ tự và có thể gặp gimbal lock. Quaternion đơn vị .. math:: q = \left(\cos \frac{\theta}{2}, \ \widehat{\bm{u}} \sin \frac{\theta}{2} \right) biểu diễn phép quay góc :math:`\theta` quanh trục :math:`\widehat{\bm{u}}`. Hai phép quay hợp thành bằng phép nhân quaternion; nội suy SLERP cho chuyển động quay đều hơn nội suy trực tiếp các góc Euler. Biến đổi pháp tuyến ------------------- Nếu vị trí được biến đổi bởi phần tuyến tính :math:`A` của world matrix, pháp tuyến không luôn biến đổi bởi chính :math:`A`. Để bảo toàn trực giao, .. math:: \bm{n}' \propto (A^{ - 1})^{\mathsf T} \bm{n}. Sau phép biến đổi phải chuẩn hóa lại. Chỉ khi :math:`A` là phép quay hoặc co giãn đồng đều mới có thể dùng trực tiếp :math:`A \bm{n}`. Mesh tam giác ------------- Một bề mặt cong được xấp xỉ bởi **triangle mesh**. Dữ liệu hình học thường gồm: - vertex buffer chứa vị trí, pháp tuyến, màu, tọa độ texture hoặc tangent; - index buffer mô tả các tam giác bằng chỉ số đỉnh; - topology chỉ cách ghép các chỉ số thành điểm, đoạn hoặc tam giác. .. figure:: rectangle.* :name: fig-mesh-rectangle Một hình chữ nhật được chia thành hai tam giác dùng chung hai đỉnh. Thay vì lưu sáu đỉnh lặp, ta lưu :math:`(v_0, v_1, v_2, v_3)` và dãy chỉ số :math:`(0, 1, 2, 0, 2, 3)`. Thứ tự đỉnh, hay **winding order**, quyết định hướng pháp tuyến và mặt trước của tam giác. Với tam giác :math:`(\bm{p}_0, \bm{p}_1, \bm{p}_2)`, một pháp tuyến chưa chuẩn hóa là .. math:: \bm{n} = (\bm{p}_1 - \bm{p}_0) \times (\bm{p}_2 - \bm{p}_0). Nếu :math:`\|\bm{n}\|` gần :math:`0`, tam giác suy biến và không nên đưa vào các phép tính hình học thông thường.