Group homomorphism
==================
Đồng cấu nhóm
-------------
.. prf:definition:: Homomorphism, Đồng cấu nhóm
:label: def-group-homomorphism
Xét hai nhóm :math:`(G, \star)` và :math:`(H, *)`
và một ánh xạ :math:`f: G \to H`.
Ánh xạ :math:`f` được gọi là **đồng cấu**
(hay **homomorphism**) nếu với mọi :math:`g_1`, :math:`g_2`
thuộc :math:`G` ta có :math:`f(g_1 \star g_2) = f(g_1) * f(g_2)`.
Do :math:`g_1`, :math:`g_2` là các phần tử thuộc
:math:`G` nên toán tử giữa chúng là :math:`\star`.
Trong khi đó :math:`f(g_1)`, :math:`f(g_2)` là các
phần tử thuộc :math:`H` nên toán tử giữa chúng là :math:`*`.
.. prf:remark::
:label: rmk-group-homomorphism
1. Gọi :math:`e_G` là phần tử đơn vị của :math:`G` và
:math:`e_H` là phần tử đơn vị của :math:`H`. Khi đó
:math:`f(e_G) = e_H`.
2. Với mọi phần tử :math:`g \in G`, nếu :math:`g^{-1}`
là nghịch đảo của :math:`g` trong :math:`G` thì
:math:`f(g^{-1}) = f(g)^{-1}`.
.. admonition:: Chứng minh
:class: danger, dropdown
1. Nếu :math:`e_G` là phần tử đơn vị của :math:`G` thì
với mọi :math:`g \in G` ta có :math:`g \star e_G = e_G \star g = g`.
Ta lấy :math:`f` cả ba vế và theo định nghĩa homomorphism thu được
.. math:: f(g \star e_G) = f(e_G \star g) = f(g) \Rightarrow f(g) * f(e_G) = f(e_G) * f(g) = f(g).
Đẳng thức trên đúng với mọi :math:`g \in G` nên đúng
với mọi :math:`f(g)`, suy ra :math:`f(e_G)` là phần tử
đơn vị trong nhóm :math:`(H, *)` và do đó :math:`f(e_G) = e_H`.
2. Từ việc tìm ra phần tử đơn vị, ta cũng chứng minh
được tính chất nghịch đảo trên.
Các loại homomorphism
---------------------
Tương tự như ánh xạ, chúng ta có các loại homomorphism sau
.. prf:definition:: Monomorphism, Đơn cấu
:label: def-group-monomorphism
Ánh xạ được gọi là **đơn cấu** (hay **monomorphism**) nếu
nó là ánh xạ one-to-one (đơn ánh). Nói cách khác, với mọi
:math:`g_1`, :math:`g_2 \in G` mà :math:`g_1 \neq g_2` thì
:math:`f(g_1) \neq f(g_2)`.
.. prf:definition:: Epimorphism, Toàn cấu
:label: def-group-epimorphism
Ánh xạ được gọi là **toàn cấu** (hay **epimorphism**) nếu
nó là ánh xạ onto (toàn ánh). Nói cách khác, với mọi
:math:`h \in H` thì tồn tại :math:`g \in G` mà :math:`f(g) = h`.
.. prf:definition:: Isomorphism, Đẳng cấu
:label: def-group-isomorphism
Ánh xạ được gọi là **đẳng cấu** (hay **isomorphism**) nếu
nó là ánh xạ one-to-one và onto (song ánh). Nói cách khác,
ánh xạ này vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.
.. prf:theorem:: Định lí Cayley
:label: thm-cayley
Mọi nhóm hữu hạn đều đẳng cấu (isomorphism) với một nhóm
con nào đó của nhóm hoán vị.
.. admonition:: Chứng minh định lí Cayley
:class: danger, dropdown
Giả sử ta có nhóm hữu hạn :math:`G = \{ g_1, g_2, \ldots g_n \}`.
Với mỗi :math:`g \in G`, ta xây dựng hoán vị :math:`\varphi_g` theo :math:`g`:
.. math::
\begin{pmatrix}
g_1 & g_2 & \ldots & g_i & \ldots & g_n \\
g_1 g & g_2 g & \ldots & g_i g & \ldots & g_n g
\end{pmatrix} = \varphi_g
Ta chọn :math:`g', g'' \in G`. Khi đó:
.. math::
\varphi_{g' g''} = & \begin{pmatrix}
g_1 & g_2 & \ldots & g_i & \ldots & g_n \\
g_1 g' g'' & g_2 g' g'' & \ldots & g_i g' g'' & \ldots & g_n g' g''
\end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix}
g_1 & g_2 & \ldots & g_i & \ldots & g_n \\
g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_i g' & \ldots & g_n g'
\end{pmatrix} \\ \times & \begin{pmatrix}
g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_i g' & \ldots & g_n g' \\
(g_1 g') g'' & (g_2 g') g'' & \ldots & (g_i g') g'' & \ldots & (g_n g') g''
\end{pmatrix}.
Do
.. math::
\begin{pmatrix}
g_1 & g_2 & \ldots g_i & \ldots & g_n \\
g_1 g' & g_2 g' & \ldots g_i g' & \ldots & g_n g'
\end{pmatrix} = \varphi_{g'},
và
.. math::
\begin{pmatrix}
g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_i g' & \ldots & g_n g' \\
(g_1 g') g'' & (g_2 g') g'' & \ldots & (g_i g') g'' & \ldots & (g_n g') g''
\end{pmatrix} = \varphi(g'')
nên :math:`\varphi_{g' g''} = \varphi(g') \cdot \varphi(g'')`
nên :math:`\varphi` là đồng cấu (homomorphism).
Để chứng minh :math:`\varphi` là song ánh, ta chứng
minh :math:`\varphi` là đơn ánh và toàn ánh.
Giả sử :math:`\varphi(g) = \varphi(g')`. Theo định
nghĩa hoán vị thì :math:`g = g'` nên :math:`\varphi`
là đơn ánh.
Giả sử ta có hoán vị
.. math::
\sigma = \begin{pmatrix}
g_1 & g_2 & \ldots & g_n \\
g_1 g' & g_2 g' & \ldots & g_n g'
\end{pmatrix},
ta nhân với :math:`g'^{-1}` thì tìm được hoán vị
ngược của :math:`\sigma`. Như vậy :math:`\varphi`
là toàn ánh.
Kết luận: :math:`\varphi` là song ánh và là đẳng
cấu (isomorphism).
.. prf:definition:: Automorphism, Tự đẳng cấu
:label: def-group-automorphism
Ánh xạ được gọi là **tự đẳng cấu** (hay **automorphism**)
nếu nó là song ánh từ nó lên chính nó. Ta kí hiệu tự đồng
cấu nhóm :math:`G` là :math:`\mathrm{Aut}(G)`.
Hạt nhân và ảnh
---------------
Xét một homomorphism :math:`f` từ nhóm :math:`(G, \star)`
tới nhóm :math:`(H, *)`.
.. prf:definition:: Kernel, Hạt nhân
:label: def-group-homomorphism-kernel
**Hạt nhân** (hay **kernel**) của :math:`f` là tập hợp các
phần tử của :math:`G` cho ảnh là :math:`e_H`, kí hiệu là
:math:`\ker f`. Nói cách khác
.. math::
\ker f = \{ g \in G : f(g) = e_H \}.
Như vậy :math:`\ker f` là tập con của :math:`G`.
.. prf:remark::
:label: rmk-homomorphism
:math:`K = \ker f` là normal subgroup của :math:`G`.
.. admonition:: Chứng minh
:class: danger, dropdown
Để chứng minh, ta thấy rằng theo định nghĩa
homomorphism, với :math:`g_1, g_2 \in K` thì
:math:`f(g_1) = f(g_2) = e_H`.
Ta có
.. math:: f(g_1 \star g_2) = f(g_1) * f(g_2) = e_H * e_H = e_H.
Như vậy :math:`g_1 \star g_2 \in K` nên
:math:`K` là nhóm con của :math:`G`.
Tiếp theo để chứng minh :math:`K` là normal
subgroup, ta chứng minh :math:`g K g^{-1} = K`
với mọi :math:`g \in G`.
Do :math:`g K g^{-1} = \{ g \star k \star g^{-1} : k \in K \}`,
lấy :math:`f` mỗi phần tử bên trong ta có
.. math:: f(g \star k \star g^{-1}) = f(g) * f(k) * f(g^{-1}) = f(g) * e_H * f(g^{-1}) = f(g) * f(g^{-1}),
mà theo tính chất của homomorphism thì
.. math:: f(g^{-1}) = f(g)^{-1} \Rightarrow f(g \star k \star g^{-1}) = f(g) * f(g)^{-1} = e_H,
suy ra :math:`g \star k \star g^{-1} \in K` với mọi
:math:`g \in G`, với mọi :math:`k \in K`. Do đó
:math:`g K g^{-1} = K` và ta có điều phải chứng minh.
.. prf:definition:: Image, Ảnh
:label: def-group-homomorphism-image
**Ảnh** (hay **image**) của :math:`f` là tập hợp tất
cả giá trị nhận được khi biến các phần tử thuộc
:math:`G` thành phần tử thuộc :math:`H`. Nói cách khác
.. math:: \mathrm{im} f = \{ f(g) : g \in G \}.
Như vậy :math:`\mathrm{im} f` là tập con của :math:`H`.
Dựa trên hai khái niệm này, chúng ta có một định lý quan trọng
trong lý thuyết nhóm là **Định lí thứ nhất về sự đẳng cấu**
(First isomorphism theorem).
.. prf:theorem:: Định lí thứ nhất về sự đẳng cấu
:label: thm-first-isomorphism
Với hai nhóm :math:`(G, \star)` và :math:`(H, *)`.
Xét homomorphism :math:`f: G \to H`. Khi đó
:math:`\mathrm{im} f` đẳng cấu (isomorphism) với
nhóm thương :math:`G / \ker f`.
.. admonition:: Chứng minh
:class: danger, dropdown
Gọi :math:`G`, :math:`H` là hai nhóm và homomorphism :math:`f: G \to H`.
Đặt :math:`K = \ker f`. Ta xét biến đổi
.. math:: \theta:\,\mathrm{im} f \to G / K, f(g) \to g K
với :math:`g \in G`.
Ta cần chứng minh biến đổi này là ánh xạ xác định
(well-defined, nghĩa là tuân theo quy tắc ánh ánh
xạ, mỗi phần tử tập nguồn biến thành **một và chỉ một**
phần tử tập đích), là homomorphism, là đơn ánh và là toàn ánh.
Đầu tiên ta chứng minh ánh xạ xác định. Giả sử ta
có :math:`g_1 K = g_2 K`, do :math:`g_1` và :math:`g_2`
thuộc cùng coset nên :math:`g_1^{-1} g_2 \in K`,
hay :math:`f(g_1^{-1} g_2) = e_H`.
Với :math:`f` là homomorphism, ta có
.. math:: f(g_1^{-1} g_2) = f(g_1^{-1}) f(g_2) = f(g_1)^{-1} f(g_2) = e_H.
Suy ra :math:`f(g_1) = f(g_2)`. Như vậy nếu
:math:`f(g_1) = f(g_2)` thì :math:`\theta (f(g_1)) = \theta (f(g_2))`.
Tiếp theo ta chứng minh :math:`\theta` là homomorphism.
Do :math:`K` là normal subgroup của :math:`G` nên với mọi
:math:`g_1`, :math:`g_2` thuộc :math:`G` thì
:math:`g_1 g_2 K = (g_1 K) (g_2 K)`.
Do :math:`f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)` nên
.. math:: \theta (f(g_1 g_2)) = g_1 g_2 K = (g_1 K) (g_2 K) = \theta (f(g_1)) \theta (f(g_2)).
Suy ra :math:`\theta` là homomorphism.
Dễ thấy với mọi :math:`g \in G` ta đều tìm được
:math:`f(g)` và :math:`g K` tương ứng. Do đó
:math:`\theta` là toàn ánh.
Để chứng minh :math:`\theta` là đơn ánh, giả sử
:math:`g_1 K = g_2 K` ta có :math:`g_1^{-1} g_2 \in K`
nên :math:`f(g_1^{-1} g_2) = e_H`, suy ra
.. math:: f(g_1^{-1}) f(g_2) = e_H \Rightarrow f(g_1)^{-1} f(g_2) = e_H \Rightarrow f(g_1) = f(g_2).
Như vậy :math:`\theta` là đơn ánh.
Kết luận, :math:`\theta` là song ánh. Định lí thứ nhất
về sự đẳng cấu được chứng minh.
.. prf:example:: Bài tập sưu tầm từ LAPLAS
:label: exp-laplas-1
Chứng minh rằng :math:`\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})/H \cong \mathbb{R}^+`,
với :math:`H` là nhóm con các ma trận có định thức bằng :math:`1`.
.. admonition:: Giải
:class: danger
Để ý rằng :math:`H` là nhóm con chuẩn tắc của
:math:`\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})`. Xét ánh xạ:
.. math:: f: \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{R}^+, f(\bm{A}) = \lvert\det(\bm{A})\rvert.
Vì :math:`\det(\bm{A} \cdot \bm{B}) = \det(\bm{A}) \cdot \det(\bm{B})`
nên :math:`f` là đồng cấu nhóm. Khi đó với mọi số thực dương :math:`r`,
tồn tại ma trận :math:`\bm{A} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})` sao cho
:math:`f(\bm{A}) = \lvert\det(\bm{A})\rvert = r`, ví dụ như
.. math::
\begin{pmatrix}
r & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.
Như vậy :math:`f` cũng là toàn cấu.
Ở đây :math:`\ker f = H` nên theo định lí thứ nhất về
sự đẳng cấu, ta có
.. math:: \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) / H \cong \mathbb{R}^+.
.. raw:: html